Chủ đề này có 3 trả lời

[kienvuhoang]

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x,n) để $x^{n+1}+2^{n+1}+1\vdots x^n +2^n+1$

[nhungvienkimcuong]

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x,n) để $x^{n+1}+2^{n+1}+1\vdots x^n +2^n+1$

ta có

$x^n+2^n+1\mid x^{n+1}+2^{n+1}+1\Rightarrow x^n+2^n+1\mid x^{n+1}+2^{n+1}+1-x\left ( x^n+2^n+1 \right )$

$\Rightarrow x^n+2^n+1\mid 2^{n+1}+1-x(2^n+1)$

$\Rightarrow \left | 2^{n+1}+1-x(2^n+1) \right |\ge x^n+2^n+1$

với $x=1,2$ thì đơn giản rồi,xét với $x\ge 3$ thì ta có

$\left | 2^{n+1}+1-x(2^n+1) \right |=x(2^n+1)-2^{n+1}-1\ge x^n+2^n+1$

xét vài trường hợp của $n$ ta dễ dàng có

$x^n\ge 3^{n-1}.x\ge(2^n+1)x>x(2^n+1)-2^{n+1}-1\ge x^n+2^n+1$

tới đây suy ra mâu thuẫn và dễ dàng hoàn thiện bài toán

[viethoang2002]

ta có

$x^n+2^n+1\mid x^{n+1}+2^{n+1}+1\Rightarrow x^n+2^n+1\mid x^{n+1}+2^{n+1}+1-x\left ( x^n+2^n+1 \right )$

$\Rightarrow x^n+2^n+1\mid 2^{n+1}+1-x(2^n+1)$

$\Rightarrow \left | 2^{n+1}+1-x(2^n+1) \right |\ge x^n+2^n+1$

với $x=1,2$ thì đơn giản rồi,xét với $x\ge 3$ thì ta có

$\left | 2^{n+1}+1-x(2^n+1) \right |=x(2^n+1)-2^{n+1}-1\ge x^n+2^n+1$

xét vài trường hợp của $n$ ta dễ dàng có

$x^n\ge 3^{n-1}.x\ge(2^n+1)x>x(2^n+1)-2^{n+1}-1\ge x^n+2^n+1$

tới đây suy ra mâu thuẫn và dễ dàng hoàn thiện bài toán

không liên quan đến bài toán mà cho em hỏi sao anh có thể nghĩ ra cách này ạ     

[nhungvienkimcuong]

không liên quan đến bài toán mà cho em hỏi sao anh có thể nghĩ ra cách này ạ     

hình thức của bài toán này thứ ta cảm giác ớn lạnh nhất là $x^n$ và $x^{n+1}$ đúng không nào :v

thế nên làm mất $x^{n+1}$ là thứ trọng yếu đầu tiên ta cần làm,sau khi giải quyết xong bước đầu đó

việc vế có $x$ bậc $1$ chia hết cho vế có $x$ bậc $n$ làm bài toán dạng khá đơn giản hơn là không còn sử dụng tính số học nữa mà chỉ cần dùng bđt đánh giá mà thôi =))

từ đó cứ việc xét từ từ là ra thôi