Chủ đề này có 1 trả lời

[bangbang1412]

Cho số nguyên tố $p$ và số nguyên dương $n$ . Xét nhóm $E^{n}$ tất cả các phép tịnh tiến trên $(\mathbb{Z/p})^{n}$ . Bây giờ ta biết rằng nhóm $E^{n}$ có thể nhúng vào $S(E^{n}) = S_{p^{n}}$ , với nhóm $H \leq G$ cho trước ta định nghĩa hai nhóm : 

$$C_{G}(H) = \left \{ g \in G | ghg^{-1}=h \forall h \in H  \right \}$$

$$N_{G}(H) = \left \{ g \in G | gHg^{-1} \subset H  \right \}$$

Khi đó $C_{G}(H)$ là nhóm con chuẩn tắc của $N_{G}(H)$ và $N_{G}(H)/C_{G}(H)$ gọi là nhóm Weyl của $H$ trong $G$ 

Gọi $\mathbb(GL(n,Z/p))=A$ là nhóm tuyến tính tổng quát . Chứng minh :

$$N_{S_{p^{n}}}(E^{n})/C_{S_{p^{n}}}(E^{n}) \cong A$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 04-08-2017 - 22:12

[vutuanhien]

Cho số nguyên tố $p$ và số nguyên dương $n$ . Xét nhóm $E^{n}$ tất cả các phép tịnh tiến trên $(\mathbb{Z/p})^{n}$ . Bây giờ ta biết rằng nhóm $E^{n}$ có thể nhúng vào $S(E^{n}) = S_{p^{n}}$ , với nhóm $H \leq G$ cho trước ta định nghĩa hai nhóm : 

$$C_{G}(H) = \left \{ g \in G | ghg^{-1}=h \forall h \in H  \right \}$$

$$N_{G}(H) = \left \{ g \in G | gHg^{-1} \subset H  \right \}$$

Khi đó $C_{G}(H)$ là nhóm con chuẩn tắc của $N_{G}(H)$ và $N_{G}(H)/C_{G}(H)$ gọi là nhóm Weyl của $H$ trong $G$ 

Gọi $\mathbb(GL(n,Z/p))=A$ là nhóm tuyến tính tổng quát . Chứng minh :

$$N_{S_{p^{n}}}(E^{n})/C_{S_{p^{n}}}(E^{n}) \cong A$$

Gợi ý:

Từ đề bài ta nghĩ đến việc sẽ dùng định lý đẳng cấu nhóm thứ nhất. Vấn đề ở đây là cần thiết lập một ánh xạ $\varphi:N_{S_{p^{n}}}(E^n)\to GL(n, \mathbb{F}_{p})$.

Đầu tiên ta nghiên cứu cấu trúc của nhóm $N_{S_{p^{n}}}$. Mỗi phần tử của $N_{S_{p^{n}}}$ có dạng $\sigma t_{u}\sigma ^{-1}$ với $\sigma \in S_{p^n}$ sao cho $\sigma t_{u}\sigma ^{-1}=t_{v}$ với $v$ nào đó thuộc $\mathbb{F}_{p}^{n}$. Giả sử $u=(a_{1},...,a_{p^n})$, $v=(b_{1},...,b_{p^n})$ thì ta thấy các thành phần của $v$ chỉ là hoán vị của các thành phần của $u$, nên ánh xạ đặt tương ứng từng thành phần của $u$ vào thành phần của $v$ là một phần tử của $S_{p^{n}}$. Như vậy đặt $v=f_{\sigma}(u)$, ta có một ánh xạ $f_{\sigma}:\mathbb{F}_{p}^{n}\to \mathbb{F}_{p}^{n}$, và ta có ánh xạ $\varphi: \sigma \mapsto f_{\sigma}$. Đến đây hãy chứng minh $f_{\sigma}\in GL(n, \mathbb{F}_{p})$ và chứng minh $\varphi$ là đồng cấu nhóm cần tìm với $Ker(\varphi)=C_{S_{p^{n}}}(E^n)$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 05-08-2017 - 23:15