Chủ đề này có 2 trả lời

[Aki1512]

Tìm $m\epsilon R$ để hàm số $y=-2x+2+m\sqrt{x^2-4x+5}$ có cực đại.

 

P/s: Mọi người giúp em giải tự luận bài này với ạ

[Aki1512]

Mọi người giúp em đạo hàm bài này với... E ko đạo hàm đc bài này. E thấy nó sai sai sao sao á T_T

[chanhquocnghiem]

Tìm $m\epsilon R$ để hàm số $y=-2x+2+m\sqrt{x^2-4x+5}$ có cực đại.

 

P/s: Mọi người giúp em giải tự luận bài này với ạ

Để hàm số có cực đại thì cần có 2 điều kiện : phương trình $y'=0$ có ít nhất 1 nghiệm (ta gọi là $x_0$) đồng thời $y'$ phải đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua nghiệm $x_0$ đó.

Trước hết ta tìm điều kiện để pt $y'=0$ có nghiệm.

Áp dụng $(\sqrt{u})'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}$, ta có $y'=\frac{m(2x-4)}{2\sqrt{x^2-4x+5}}-2=\frac{m(x-2)}{\sqrt{x^2-4x+5}}-2$

$y'=0\Leftrightarrow m(x-2)=2\sqrt{x^2-4x+5}\Leftrightarrow m=\frac{2\sqrt{x^2-4x+5}}{x-2}$

Điều này có nghĩa là pt $y'=0$ có nghiệm $\Leftrightarrow m$ thuộc tập giá trị của hàm $g(x)=\frac{2\sqrt{x^2-4x+5}}{x-2}$

Vậy ta cần tìm tập giá trị của $g(x)$

Áp dụng $\left ( \frac{u}{v} \right )'=\frac{u'v-v'u}{v^2}$, ta có :

$g'(x)=\frac{\frac{2(x-2)^2}{\sqrt{x^2-4x+5}}-2\sqrt{x^2-4x+5}}{(x-2)^2}=\frac{2(x-2)^2-2(x^2-4x+5)}{(x-2)^2\sqrt{x^2-4x+5}}=\frac{-2}{(x-2)^2\sqrt{x^2-4x+5}}$

$\lim_{x\to-\infty}\frac{2\sqrt{x^2-4x+5}}{x-2}=\lim_{x\to-\infty}\left ( -2\sqrt{\frac{x^2-4x+5}{(x-2)^2}} \right )=\lim_{x\to-\infty}\left ( -2\sqrt{1+\frac{1}{(x-2)^2}} \right )=-2$

$\lim_{x\to+\infty}\frac{2\sqrt{x^2-4x+5}}{x-2}=\lim_{x\to+\infty}\left ( 2\sqrt{\frac{x^2-4x+5}{(x-2)^2}} \right )=\lim_{x\to+\infty}\left ( 2\sqrt{1+\frac{1}{(x-2)^2}} \right )=2$

$\lim_{x\to2^-}\frac{2\sqrt{x^2-4x+5}}{x-2}=-\infty$

$\lim_{x\to2^+}\frac{2\sqrt{x^2-4x+5}}{x-2}=+\infty$

Lập bảng biến thiên của $g(x)$ :

Có 2 khoảng : $(-\infty;2)$ và $(2;+\infty)$

Dấu của $g'(x)$ trên 2 khoảng : âm - âm (tại $x=2$ thì $g'(x)$ không xác định)

Trên $(-\infty;2)$, $g(x)$ giảm từ $-2$ đến $-\infty$ ; trên $(2;+\infty)$, $g(x)$ giảm từ $+\infty$ đến $2$.

Vậy tập giá trị của $g(x)$ là $(-\infty;-2)\cup (2;+\infty)$ và điều kiện để $y'=0$ có nghiệm là $m\in(-\infty;-2)\cup (2;+\infty)$

 

Bây giờ ta tìm điều kiện để $y'$ đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua $x_0$ ($x_0$ là điểm tại đó $y'=0$)

$y''=\frac{m\sqrt{x^2-4x+5}-\frac{m(x-2)^2}{\sqrt{x^2-4x+5}}}{x^2-4x+5}=\frac{m(x^2-4x+5)-m(x-2)^2}{[(x-2)^2+1]\sqrt{x^2-4x+5}}=\frac{m}{[(x-2)^2+1]\sqrt{x^2-4x+5}}$

Để ý rằng mẫu số của $y''$ luôn dương, vậy dấu của $y''$ cũng là dấu của $m$.

+ Nếu $m> 0$ thì $y''$ luôn dương $\rightarrow y'$ luôn tăng nên không thể nào đổi dấu từ dương sang âm được (loại trường hợp này)

+ Nếu $m< 0$ thì $y''$ luôn âm $\rightarrow y'$ luôn giảm nên tại $x_0$ nó sẽ đổi dấu từ dương sang âm.

 

Kết hợp cả 2 điều kiện ta có điều kiện cần tìm là $m\in(-\infty;-2)$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 07-08-2017 - 11:56