Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$f(x+y) = f(x)+f(y)+2xy$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 Murasaki Yasu

Murasaki Yasu

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 16 Bài viết

Đã gửi 05-08-2017 - 23:26

Tìm hàm số $f(x)$ biết: $f(x+y) = f(x)+f(y)+2xy.$

@halloffame: bạn thêm giúp mình dữ kiện về tập gốc và tập đích của hàm $f$ nhé. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 06-08-2017 - 11:41


#2 chidungdijiyeon

chidungdijiyeon

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 68 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Bách Khoa HCM

Đã gửi 10-08-2017 - 14:43

Đặt $
{f}\left({x}\right)\mathrm{{=}}{g}\left({x}\right)\hspace{0.33em}\mathrm{{+}}{x}^{2}
$
Thay vào phương trình trên, ta được:
$
{g}\left({{x}\mathrm{{+}}{y}}\right)\mathrm{{=}}{g}\left({x}\right)\hspace{0.33em}\mathrm{{+}}\hspace{0.33em}{g}\left({y}\right)
$
Đây là phương trình hàm Cauchy nên ta có được $
{g}\left({x}\right)\mathrm{{=}}\hspace{0.33em}{ax}
$
Suy ra $
\left({x}\right)\mathrm{{=}}{ax}\hspace{0.33em}\mathrm{{+}}\hspace{0.33em}{x}^{2}
$

 "Đừng thấy cái bóng to của mình trên vách tường mà tưởng mình vĩ đại."

* Pythagoras*

Một lần ngã là một lần bớt dại

Ai nên khôn mà chả dại đôi lần


#3 Zeref

Zeref

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 461 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đồng Nai
  • Sở thích:...

Đã gửi 10-08-2017 - 16:29

Đặt $
{f}\left({x}\right)\mathrm{{=}}{g}\left({x}\right)\hspace{0.33em}\mathrm{{+}}{x}^{2}
$
Thay vào phương trình trên, ta được:
$
{g}\left({{x}\mathrm{{+}}{y}}\right)\mathrm{{=}}{g}\left({x}\right)\hspace{0.33em}\mathrm{{+}}\hspace{0.33em}{g}\left({y}\right)
$
Đây là phương trình hàm Cauchy nên ta có được $
{g}\left({x}\right)\mathrm{{=}}\hspace{0.33em}{ax}
$
Suy ra $
\left({x}\right)\mathrm{{=}}{ax}\hspace{0.33em}\mathrm{{+}}\hspace{0.33em}{x}^{2}
$

Mình nghĩ chỗ này bạn suy ra hơi vội, lỡ đâu $g(x) \equiv 0$ thì sao, vả lại chưa có dữ kiện rõ ràng về tập nguồn và đích, nếu điều kiện là $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ và không cho gì thêm thì phải cẩn thận



#4 chidungdijiyeon

chidungdijiyeon

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 68 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Bách Khoa HCM

Đã gửi 17-08-2017 - 22:35

Mình nghĩ chỗ này bạn suy ra hơi vội, lỡ đâu $g(x) \equiv 0$ thì sao, vả lại chưa có dữ kiện rõ ràng về tập nguồn và đích, nếu điều kiện là $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ và không cho gì thêm thì phải cẩn thận


Cảm mơn bạn góp ý

 "Đừng thấy cái bóng to của mình trên vách tường mà tưởng mình vĩ đại."

* Pythagoras*

Một lần ngã là một lần bớt dại

Ai nên khôn mà chả dại đôi lần


#5 Kamii0909

Kamii0909

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 158 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Nguyễn Huệ
  • Sở thích:Mathematic, Light Novel

Đã gửi 18-08-2017 - 17:45

Tìm hàm số $f(x)$ biết: $f(x+y) = f(x)+f(y)+2xy.$

@halloffame: bạn thêm giúp mình dữ kiện về tập gốc và tập đích của hàm $f$ nhé. 

Mình đã từng thấy lời giải bài này trong điều kiện $f$ khả vi.
Khi đó cho $x=y=0$ thì $f(0)=0$.
Với $y \rightarrow 0$ lại có $\dfrac{f(x+y)-f(x)}{y} = \dfrac{f(y)-f(0)}{y-0}+2x$
Hay $ f'(x)=2x+f'(0)$
Vậy $f(x)=x^2+ax +b$. Thử lại ta thấy $b=0$.






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh