Bài viết này mình note lại về tác động nhóm , một phần vì mới học , một phần box đại số đại cương mình cũng muốn có một bài ghim cho nó . Mọi người có thể bổ sung . Toàn bộ kiến thức này có thể tìm thấy trong Abstract Algebra - Dummit Foote
$1)$ Tác động nhóm
Cho tập $A$ và một nhóm $G$ , ta nói $G$ tác động lên $A$ nếu có một ánh xạ , kí hiệu chung là $.$ từ $G \times A \to A$ sao cho thỏa mãn các luật sau :
$i)$ $\forall g_{1},g_{2} \in G , a \in G : g_{1}.(g_{2}.a) = (g_{1}g_{2}).a$
$ii)$ $1.a = a \forall a \in A$
Với mỗi một $g \in G$ ta xét ánh xạ :
$$\sigma_{g} : A \to A$$
$$a \to g.a$$
Khi đó ta có thể thấy với mỗi $g \in G$ thì $\sigma_{g}$ là một song ánh từ $A \to A$ do đó là một hoán vị , thuộc $S(A)$ . Hơn nữa ánh xạ $G \to S(A) , g \to \sigma_{g}$ là một đồng cấu .
Ngược lại ta có thể thấy với mọi đồng cấu $\sigma : G \to S(A)$ thì sinh ra một tác động nhóm định nghĩa là $g.a = \sigma(g)(a)$ . Hoặc ta luôn có thể tác động liên hợp $h \to ghg^{-1}$
Ví dụ : luôn có tác động nhóm tầm thường là $g.a = a \forall a \in A$ .
$2)$ Một số nhóm con quan trọng
Cho trước nhóm $G$ và nhóm con $H$ của $G$ , ta xét các nhóm quan trọng sau đây lầm lượt gọi là nhóm tâm hóa , chuẩn hóa , trường hợp cuối là nhóm tâm
$$C_{G}(H) = \left \{ g \in G | ghg^{-1}=h \forall h \in H\right \}$$
$$N_{G}(H) = \left \{ g \in G | gHg^{-1}=H \right \}$$
$$Z(G) = \left \{ g \in G | gx = xg \forall x \in G \right \}$$
Khi đó $Z(G)$ là abel , chuẩn tắc trong $G$ và $C_{G}(H)$ chuẩn tắc trong $N_{G}(H)$ , nhóm thương $N_{G}(H)/C_{G}(H)$ gọi là nhóm Weyl của $H$ trong $G$
$3)$ Dưới góc nhìn tác động nhóm .
Cho trước $s \in S$ và $G$ tác động lên tập $S$ khi đó tập ổn định với $s$ ( nhóm con ) :
$$G_{s} = \left \{ g \in G | g.s = s \right \}$$
Tương tự cũng có thể thấy " nhân " của tác động này là nhóm con của $G$
$$\left \{ g \in G | g.s=s \forall s \in S \right \}$$
Bây giờ ta thấy nếu gọi $S = P(G)$ là tập tất cả các tập con của $G$ . Khi đó cho $G$ tác động lên $S$ bằng cách sau , với mọi $g \in G , A \in G$ thì
$$g : A \to gAg^{-1}$$
Dưới tác động nhóm này thì có thể thấy $G_{A} = N_{G}(A)$ đã định nghĩa ở trên . Tiếp tục ta cho $N_{G}(A)$ tác động lên $A$ , với mọi $a \in A$ thì
$$g : a \to gag^{-1}$$
Khi đó nhân của tác động này chính là $C_{G}(A)$ như đã định nghĩa ở trên . Cuối cùng có thể thấy $Z(G)$ chỉ là nhân của $G$ tác động lên chính $G$ bởi phép liên hợp .
$4)$ Các biểu diễn hoán vị
Quay lại việc một nhóm $G$ tác động lên tập $A$ và xét một hoán vị , một đồng cấu sau :
$$\sigma_{g} : A \to A , a \to g.a$$
$$\sigma : G \to S_{A} , g \to \sigma_{g}$$
Ánh xạ $\sigma$ được gọi là một biểu diễn hoán vị ( đối xứng ) liên kết với tác động nhóm đã cho . Ngoài ra có thể thấy :
$$\ker \sigma = \bigcap_{a \in A} G_{a}$$
Trong đó $G_{a}$ là ổn định của $a$ trong $G$ đã định nghĩa ở $3)$ . Bây giờ với $G$ tác động lên $A$ xét quan hệ tương đương $a \sim b <=> \exists g \in G : a = g.b$ . Đây là quan hệ tương đương nên nó chia ra các lớp tương đương phân biệt gọi là quỹ đạo của các phần tử :
$$C_{a} = \left \{ g.a | g \in G \right \}$$
Ngoài ra có thể thấy $|C_{a}| = |G : G_{a}|$ . Ta xem xét một trường hợp đặc biệt , là nhóm đối xứng $S_{n}$ , ta biết rằng mọi phần tử của $S_{n}$ có thể viết thành tích một số xích rời rạc , dưới góc nhìn của tác động nhóm thì ta xét $A = \left \{ 1,2,3,...,n \right \}$ và gọi $\sigma \in S_{n}$ , đặt $G = < \sigma^{m} | m \in Z>$ thế thì $G$ tác động lên $A$ . Như vậy nó tách $A$ thành các quỹ đạo phân biệt . Gọi $O$ là một quỹ đạo và $x \in O$ , có một song ánh giữa lớp kề trái của $G_{x}$ trong $G$ và phần tử của $O$ . Như thế quỹ đạo của $x$ là $O$ chỉ gồm các phần tử dạng $\sigma^{k}(x)$ với $k \in Z$ . Đây là điều mong muốn .
Có một số tác động khác như tác động vào lớp kề trái của một nhóm con $A$ của $G$ bằng cách $T_{b} : xS \to (bx)S$ , ánh xạ $\pi : b \to T_{b}$ là đồng cấu có nhân là nhóm con chuẩn tắc lớn nhất chứa $A$ , cụ thể $\bigcap_{g\in G} gAg^{-1}$
$5)$ Định lý Caley và phương trình quỹ đạo .
Hai cái này khỏi phải nói rồi , gọi nhóm $G$ có thể nhúng vào nhóm đối xứng của chính nó và phương trình quỹ đạo :
$$|G| = |Z(G)| + \sum |G : G_{x}|$$
Tác động ở đây là tác động liên hợp , tổng sau lấy trên các đại diện $x$ mà $|G : G_{x}|>1$ . Hệ quả của nó là mọi $p$ nhóm đều có tâm không tầm thường .
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 05-08-2017 - 23:31