Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Tác động nhóm

group action

  • Please log in to reply
Chưa có bài trả lời

#1 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1566 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:Recently trying to grasp Algebraic Stack

Đã gửi 05-08-2017 - 23:30

Bài viết này mình note lại về tác động nhóm , một phần vì mới học , một phần box đại số đại cương mình cũng muốn có một bài ghim cho nó . Mọi người có thể bổ sung . Toàn bộ kiến thức này có thể tìm thấy trong Abstract Algebra - Dummit Foote 

$1)$ Tác động nhóm

Cho tập $A$ và một nhóm $G$ , ta nói $G$ tác động lên $A$ nếu có một ánh xạ , kí hiệu chung là $.$ từ $G \times A \to A$ sao cho thỏa mãn các luật sau : 

$i)$ $\forall g_{1},g_{2} \in G , a \in G : g_{1}.(g_{2}.a) = (g_{1}g_{2}).a$

$ii)$ $1.a = a \forall a \in A$

Với mỗi một $g \in G$ ta xét ánh xạ : 

$$\sigma_{g} : A \to A$$

$$a \to g.a$$

Khi đó ta có thể thấy với mỗi $g \in G$ thì $\sigma_{g}$ là một song ánh từ $A \to A$ do đó là một hoán vị , thuộc $S(A)$ . Hơn nữa ánh xạ $G \to S(A) , g \to \sigma_{g}$ là một đồng cấu . 

Ngược lại ta có thể thấy với mọi đồng cấu $\sigma : G \to S(A)$ thì sinh ra một tác động nhóm định nghĩa là $g.a  = \sigma(g)(a)$ . Hoặc ta luôn có thể tác động liên hợp $h \to ghg^{-1}$

Ví dụ : luôn có tác động nhóm tầm thường là $g.a  = a \forall a \in A$ . 

$2)$ Một số nhóm con quan trọng 

Cho trước nhóm $G$ và nhóm con $H$ của $G$ , ta xét các nhóm quan trọng sau đây lầm lượt gọi là nhóm tâm hóa , chuẩn hóa , trường hợp cuối là nhóm tâm 

$$C_{G}(H) = \left \{  g \in G | ghg^{-1}=h \forall h \in H\right \}$$

$$N_{G}(H) = \left \{ g \in G | gHg^{-1}=H \right \}$$

$$Z(G) = \left \{ g \in G | gx = xg \forall x \in G  \right \}$$

Khi đó $Z(G)$ là abel , chuẩn tắc trong $G$ và $C_{G}(H)$ chuẩn tắc trong $N_{G}(H)$ , nhóm thương $N_{G}(H)/C_{G}(H)$ gọi là nhóm Weyl của $H$ trong $G$ 

$3)$ Dưới góc nhìn tác động nhóm .

Cho trước $s \in S$ và $G$ tác động lên tập $S$ khi đó tập ổn định với $s$ ( nhóm con ) : 

$$G_{s} = \left \{ g \in G | g.s = s  \right \}$$

Tương tự cũng có thể thấy " nhân " của tác động này là nhóm con của $G$

$$\left \{ g \in G | g.s=s \forall s \in S  \right \}$$

Bây giờ ta thấy nếu gọi $S = P(G)$ là tập tất cả các tập con của $G$ . Khi đó cho $G$ tác động lên $S$ bằng cách sau , với mọi $g \in G , A \in G$ thì 

$$g : A \to gAg^{-1}$$

Dưới tác động nhóm này thì có thể thấy $G_{A} = N_{G}(A)$ đã định nghĩa ở trên . Tiếp tục ta cho $N_{G}(A)$ tác động lên $A$ , với mọi $a \in A$ thì 

$$g : a \to gag^{-1}$$

Khi đó nhân của tác động này chính là $C_{G}(A)$ như đã định nghĩa ở trên . Cuối cùng có thể thấy $Z(G)$ chỉ là nhân của $G$ tác động lên chính $G$ bởi phép liên hợp .

$4)$ Các biểu diễn hoán vị 

Quay lại việc một nhóm $G$ tác động lên tập $A$ và xét một hoán vị , một đồng cấu sau : 

$$\sigma_{g} : A \to A , a \to g.a$$

$$\sigma : G \to S_{A} , g \to \sigma_{g}$$

Ánh xạ $\sigma$ được gọi là một biểu diễn hoán vị ( đối xứng ) liên kết với tác động nhóm đã cho . Ngoài ra có thể thấy : 

$$\ker \sigma = \bigcap_{a \in A} G_{a}$$

Trong đó $G_{a}$ là ổn định của $a$ trong $G$ đã định nghĩa ở $3)$ . Bây giờ với $G$ tác động lên $A$ xét quan hệ tương đương $a \sim b <=> \exists g \in G : a = g.b$ . Đây là quan hệ tương đương nên nó chia ra các lớp tương đương phân biệt gọi là quỹ đạo của các phần tử : 

$$C_{a} = \left \{ g.a | g \in G \right \}$$

Ngoài ra có thể thấy $|C_{a}| = |G : G_{a}|$ . Ta xem xét một trường hợp đặc biệt , là nhóm đối xứng $S_{n}$ , ta biết rằng mọi phần tử của $S_{n}$ có thể viết thành tích một số xích rời rạc , dưới góc nhìn của tác động nhóm thì ta xét $A = \left \{ 1,2,3,...,n \right \}$ và gọi $\sigma \in S_{n}$ , đặt $G = < \sigma^{m} | m \in Z>$ thế thì $G$ tác động lên $A$ . Như vậy nó tách $A$ thành các quỹ đạo phân biệt . Gọi $O$ là một quỹ đạo và $x \in O$ , có một song ánh giữa lớp kề trái của $G_{x}$ trong $G$ và phần tử của $O$ . Như thế quỹ đạo của $x$ là $O$ chỉ gồm các phần tử dạng $\sigma^{k}(x)$ với $k \in Z$ . Đây là điều mong muốn . 

Có một số tác động khác như tác động vào lớp kề trái của một nhóm con $A$ của $G$ bằng cách $T_{b} : xS \to (bx)S$ , ánh xạ $\pi : b \to T_{b}$ là đồng cấu có nhân là nhóm con chuẩn tắc lớn nhất chứa $A$ , cụ thể $\bigcap_{g\in G} gAg^{-1}$

$5)$ Định lý Caley và phương trình quỹ đạo . 

Hai cái này khỏi phải nói rồi , gọi nhóm $G$ có thể nhúng vào nhóm đối xứng của chính nó và phương trình quỹ đạo : 

$$|G| = |Z(G)| + \sum |G : G_{x}|$$

Tác động ở đây là tác động liên hợp , tổng sau lấy trên các đại diện $x$ mà $|G : G_{x}|>1$ . Hệ quả của nó là mọi $p$ nhóm đều có tâm không tầm thường . 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 05-08-2017 - 23:31

Declare to yourself that, from now on, your life is dedicated to one and only one woman, the greatest mistress of your life, the tenderest woman you have ever encountered, Mathematica.





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh