Chủ đề này có 1 trả lời

[Maytroi]

Cho hàm $f(x)$ liên tục trên $[0;1]$ sao cho $f(0)=f(1)$. Chứng minh rằng tồn tại 2 dãy $\left ( a_{n} \right ); \left ( b_{n} \right )$ khác  hằng thỏa mãn các điều kiện sau:

\begin{align*} 1) \ &\left ( a_{n} \right ); \left ( b_{n} \right ) \text{ là các dãy hội tụ } \\ 2) \ &f\left ( a_{n} \right )= f\left ( b_{n} \right ) \text{ với mọi } n \end{align*}

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huykinhcan99: 06-08-2017 - 17:01

[dogsteven]

Xét $f(x)$ là hàm hằng thì bài toán thỏa mãn.

Xét $f(x)$ không là hàm hằng.

Do $f(x)$ liên tục trên $[0, 1]$ nên tồn tại $0\leqslant a<b\leqslant 1$ thỏa mãn $f(a) = f(b)=f(1)$ sao cho $a,b$ liên tiếp nhau trong $f(x)=f(1)$

Khi đó $f(x)$ trong $[a,b]$ luôn mang một dấu duy nhất, giả sử dấu dương.

Khi đó xét điểm cực trị $c$ của $f(x)$ trên $(a,b)$ có tung độ là nhỏ nhất. Tồn tại $a_1\in (a,c)$ thỏa mãn $f(a)<f(a_1)<f(c)$ do $f$ liên tục.

Khi đó xét trong $(c,b)$ thì tồn tại $b_1$ thỏa mãn $f(b_1)=f(a_1)$. Tương tự chọn được $a_2\in (a, a_1)$ thỏa mãn $f(a)<f(a_2)<f(a_1)$

Lúc này tồn tại $b_2\in (b_1, b)$ thỏa mãn $f(b_2)=f(a_2)$. cứ làm liên tiếp thế thì ta tìm được một dãy thỏa mãn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 14-08-2017 - 18:21