Chủ đề này có 2 trả lời

[Caspper]

Mọi người giúp mình bài này

Tìm tất cả $f:\mathbb{Z}_{+}\rightarrow\mathbb{Z}_{+}$ thỏa mãn:

i) $f$ toàn ánh.

ii) $\forall\;m,n\in\mathbb{Z}_{+}, p$ nguyên tố thì: $f(m+n)\;\vdots \;p\Leftrightarrow f(m)+f(n)\;\vdots\; p$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 01-10-2017 - 13:00

[dogsteven]

Bài này hay quá.

 

Nếu $p|f(1)$ thì $p|f(n)$ với mọi $n$ vô lý vì $f$ toàn ánh. Do đó $f(1)=1$

 

Với một số nguyên tố $p$ bất kỳ, gọi $d$ là số nhỏ nhất thỏa mãn $p|f(d)$ thì $p|f(kd)$

Nếu tồn tại số $n$ thỏa mãn $d\not | n$ mà $p| f(n)$ thì chọn $n$ nhỏ nhất, khi đó $n>d$ nên $p|f(n-d)$ vô lý.

Vậy $p|f(n)\Leftrightarrow d|n$

 

Xét hai số $x,y$ thỏa mãn $d|x-y$ thì $p|f(x)+f(kd-x)$ và $d|kd+y-x=y+(kd-x)$ nên $p|f(y)+f(kd-x)$

Do đó mà $p|f(x)-f(y)$. Tóm lại $d|x-y\Rightarrow p|f(x)-f(y)$

Xét hai số $x,y$ thỏa mãn $p|f(x)-f(y)$. Khi đó $p|f(kd-x)+f(x)$ nên $p|f(kd-x)+f(y)$ hay $p|f(kd+y-x)$

Do đó $d|kd+y-x$ hay $d|x-y$. Tóm lại $p|f(x)-f(y)\Rightarrow d|x-y$

Nói chung lại thì $d|x-y\Leftrightarrow p|f(x)-f(y)$

Ở đây chọn $k$ đủ lớn để $kd-x>0$

 

Ta thấy rằng trong $f(1), f(2), ..., f(d)$ đôi một không có cùng số dư khi chia cho $p$ nên $p\geqslant d$

Ngoài ra do hàm $f$ là hàm toàn ánh nên ta tìm được dãy $f(n)$ lần lược có giá trị $1, 2, 3, ..., p$ nên $d\geqslant p$

Tóm lại $d=p$ hay $p$ là số nhỏ nhất để $p|f(p)$

 

Ta thấy rằng $f(1)=1$ nên $f(n)=n$ đúng với $n=1$. Xét $n>1$ và giả sử kết luận đúng đến $n-1$

Nếu $f(n)>n$ thì $f(n)-n+1>1$ nên có số nguyên tố $p|f(n)-n+1$ nên $p|f(n)-f(n-1)$ nên $p|1$ vô lý.

Nếu $f(n)<n$ thì $n-f(n)+1>1$ nên có số nguyên tố $p|n-f(n)+1$ nên $p|f(n)-f(f(n)-1)=f(n)-f(n)+1=1$ vô lý.

Tóm lại $f(n)=n$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 03-09-2017 - 16:14

[lamNMP01]

https://artofproblem...h214717p1187222