Chủ đề này có 5 trả lời

[OldMemories]

Cho a , b , c đôi một khác nhau thỏa a + b + c = 0 . Cmr

$\sum \frac{a^{2}}{b^{2}} + \sum \frac{a}{b}\geqslant \frac{15}{4}$

[Nguyenhuyen_AG]

Cho a , b , c đôi một khác nhau thỏa a + b + c = 0 . Cmr

$\sum \frac{a^{2}}{b^{2}} + \sum \frac{a}{b}\geqslant \frac{15}{4}$

 

Sao lại cần điều kiện đôi một khác nhau nhỉ?

 

Thay $c = -a-b$ bất đẳng thức trên trở thành

\[\frac{a^2}{b^2} + \frac{b^2}{(a+b)^2} + \frac{(a+b)^2}{a^2} + \frac{a}{b} - \frac{b}{a+b} - \frac{a+b}{a} \geqslant \frac{15}{4}.\]

Đặt $a=kb$ bất đẳng thức trên tương đương với

\[k^2 + \frac{1}{(k+1)^2} + \frac{(k+1)^2}{k^2} + k - \frac{1}{k+1} - \frac{k+1}{k} \geqslant \frac{15}{4},\]

hoặc

\[\frac{(k-1)^2(2k+1)^2(k+2)^2}{4k^2(k+1)^2} \geqslant 0.\]

Hiển nhiên đúng.

[OldMemories]

Sao lại cần điều kiện đôi một khác nhau nhỉ?

 

Thay $c = -a-b$ bất đẳng thức trên trở thành

\[\frac{a^2}{b^2} + \frac{b^2}{(a+b)^2} + \frac{(a+b)^2}{a^2} + \frac{a}{b} - \frac{b}{a+b} - \frac{a+b}{a} \geqslant \frac{15}{4}.\]

Đặt $a=kb$ bất đẳng thức trên tương đương với

\[k^2 + \frac{1}{(k+1)^2} + \frac{(k+1)^2}{k^2} + k - \frac{1}{k+1} - \frac{k+1}{k} \geqslant \frac{15}{4},\]

hoặc

\[\frac{(k-1)^2(2k+1)^2(k+2)^2}{4k^2(k+1)^2} \geqslant 0.\]

Hiển nhiên đúng.

Không có cách " đẹp " hơn à ?

[Nguyenhuyen_AG]

Không có cách " đẹp " hơn à ?

 

Có 7 cách.

[OldMemories]

Có 7 cách.

Làm vài cách khác đi anh

[Nguyenhuyen_AG]

Làm vài cách khác đi anh

 

Trong ba số $a,\,b,\,c$ sẽ có hai số cùng dấu, giả sử đó là $a,\,b.$ Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

\[\frac{b(b+c)}{c^2} + \frac{a^2}{b^2}+\frac{c^2}{a^2} + \frac{a}{b} + \frac{c}{a} \geqslant \frac{15}{4},\]

hay là

\[-\frac{ab}{(a+b)^2} + \frac{a^2}{b^2}+\frac{(a+b)^2}{a^2} + \frac{a}{b} - \frac{a+b}{a} \geqslant \frac{15}{4},\]

hoặc

\[-\frac{ab}{(a+b)^2} + \frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2} + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geqslant \frac{15}{4},\]

\[\left[\frac{1}{4}-\frac{ab}{(a+b)^2}\right]+ \left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}-2\right)  + \left(\frac{a}{b} + \frac{b}{a}-2\right)  \geqslant 0.\]

Hiển nhiên đúng theo bất đẳng thức AM-GM.