Chủ đề này có 3 trả lời

[Nghiapnh1002]

Cho hình vuông $n$x$n$ tạo bởi $n^2$ hình vuông nhỏ. Hỏi có bao nhiêu hình chữ nhật được tạo thành từ các hình vuông nhỏ liền nhau.

 

[kekkei]

xét cách chọn k ô liền nhau từ n ô hàng ngang: 

k=1: có n cách chọn

k=2: có n-1 cách chọn

k=3: có n-2 cách chọn

...

k=n-1: có n-k+1=2 cách chọn
k=n có n-k+1=1 cách chọn 

Vậy có tất cả n(n-1)(n-2)...2.1=n! cách chọn các ô hàng ngang liền nhau

Tương tự với các ô hàng dọc 

Do đó có tất cả $(n!)^2$ hình chữ nhật ( bao gồm hình vuông) 

Tổng số các hình vuông: $1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}$ 

Lấy hiệu có kq bài toán 

[hxthanh]

Cho hình vuông $n$x$n$ tạo bởi $n^2$ hình vuông nhỏ. Hỏi có bao nhiêu hình chữ nhật được tạo thành từ các hình vuông nhỏ liền nhau.

Một hình vuông $n\,\times\,n$ sẽ tạo ra $(n+1)^2$ điểm.
Một cặp hai điểm phân biệt không cùng hàng cùng cột sẽ tạo ra hai đỉnh chéo của một hình chữ nhật(bao gồm cả hình vuông)
Số cách chọn hai điểm phân biệt như vậy là $\frac{n^2(n+1)^2}{2}$
Do tính đối xứng nên luôn có hai cặp điểm xác định cùng một hình chữ nhật.
Do đó số hình chữ nhật là $\frac{n^2(n+1)^2}{4}$
Số hình vuông thì dễ thấy là bằng $1^2+2^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
Kết quả của bài toán
$\frac{n^2(n+1)^2}{4}-\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{n(n+1)(n-1)(3n+2)}{12}$

[LAdiese]

Một hình vuông $n\,\times\,n$ sẽ tạo ra $(n+1)^2$ điểm.
Một cặp hai điểm phân biệt không cùng hàng cùng cột sẽ tạo ra hai đỉnh chéo của một hình chữ nhật(bao gồm cả hình vuông)
Số cách chọn hai điểm phân biệt như vậy là $\frac{n^2(n+1)^2}{2}$
Do tính đối xứng nên luôn có hai cặp điểm xác định cùng một hình chữ nhật.
Do đó số hình chữ nhật là $\frac{n^2(n+1)^2}{4}$
Số hình vuông thì dễ thấy là bằng $1^2+2^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
Kết quả của bài toán
$\frac{n^2(n+1)^2}{4}-\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{n(n+1)(n-1)(3n+2)}{12}$

Thầy ơi, rất mong thầy chỉ dạy: làm thế nào nếu chỉ dùng phần lớn kiến thức về tổ hợp để tìm:

a/ Số hình vuông trong hình vuông lớn kích thước $n.n$.

b/ Số hình vuông trong hình chữ nhật lớn kích thước $n.m$ với $n> m$.

 

Thí dụ: Cứ mỗi tổ hợp 2 đường dọc và 2 đường ngang tạo thành 1 hình chữ nhật nên số hình chữ nhật (kể cả hình vuông vì hình vuông là hình chữ nhật đặc biệt) trong hình vuông lớn kích thước $ n.n$ là: $C_{n+1}^{2}.C_{n+1}^{2}=\frac{n^{2}.\left ( n+1 \right )^{2}}{4}$