Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$(x_n):\left\{\begin{matrix} ...\\ x_{n+1}=x_n+\frac{2\sqrt{x_{n-1}}}{n^3} \end{matrix}\right.$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 Element hero Neos

Element hero Neos

    Trung úy

  • Thành viên
  • 943 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 09-08-2017 - 20:12

Cho dãy $(x_n):\left\{\begin{matrix} x_1=x_2=1\\ x_{n+1}=x_n+\frac{2\sqrt{x_{n-1}}}{n^3} \end{matrix}\right.$

Chứng minh $x_n<\frac{25}{4},\forall n$



#2 An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1811 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:cù lao
  • Sở thích:~.*

Đã gửi 09-08-2017 - 21:31

Cho dãy $(x_n):\left\{\begin{matrix} x_1=x_2=1\\ x_{n+1}=x_n+\frac{2\sqrt{x_{n-1}}}{n^3} \end{matrix}\right.$

Chứng minh $x_n<\frac{25}{4},\forall n$

 

Chứng minh bằng phương pháp qui nạp.

(Bỏ qua các bước đơn giản, chỉ nhấn mạnh bước phức tạp nhất.)

Bỏ qua bước 1.

 

Giả sử BĐT đúng với mọi $k\le n.$ Ta chỉ kiểm tra trong trường hợp $n\ge 5.$

 

\[x_{n+1}=x_2+\frac{2\sqrt{x_1}}{2^3}+\sum_{k=2}^{n-1}\frac{2\sqrt{x_{k}}}{k^3}=\frac{5}{4}+\sum_{k=2}^{n-1}\frac{2\sqrt{x_{k}}}{k^3}.\]

 

Nhận xét:

\[\sum_{k=2}^{n-1}\frac{5}{k^3}<\sum_{k=3}^{n-1}\frac{5}{k^2}\le \sum_{k=2}^{n-1}\frac{5}{k(k-1}= 1-\frac{1}{n-1}<1.\]

Khi đó, 

\[x_{n+1}<\frac{5}{4}+\sum_{k=3}^{n-1}\frac{5}{k^3}<\frac{25}{4}.\]


Đời người là một hành trình...


#3 Kamii0909

Kamii0909

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 158 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Nguyễn Huệ
  • Sở thích:Mathematic, Light Novel

Đã gửi 27-08-2017 - 00:36

Chứng minh theo quy nạp rằng $x_n \leq \dfrac{25}{4}- \dfrac{5}{n}, n \geq 1$
Kiểm tra với $n=1,2$ đúng. 
Sử dụng công thức truy hồi, ta cần chỉ ra 
$$x_{n+1}<x_{n}+\dfrac{5}{n^3} \leq \dfrac{25}{4} - \dfrac{5}{n} + \dfrac{5}{n^3} \leq \dfrac{25}{4}- \dfrac{5}{n+1}, \forall n \geq 2$$

$$\Leftrightarrow n^2 \geq n+1,\forall n \geq 2$$

Từ đó ta có đpcm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kamii0909: 27-08-2017 - 00:38





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh