Chủ đề này có 4 trả lời

[Turbo]

a/ Với mọi số a, b, c không đồng thời bằng nhau, hãy chứng minh:

a² + b² + c² - ab - ac - bc ≥ 0

b/ Cho a + b + c = 2009. Chứng minh rằng:

 

[trieutuyennham]

 

a/ Với mọi số a, b, c không đồng thời bằng nhau, hãy chứng minh:

a² + b² + c² - ab - ac - bc ≥ 0

b/ Cho a + b + c = 2009. Chứng minh rằng:

 

a)

BĐT$\Leftrightarrow (a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}\geq 0$ (đúng)

b)

ta có

$a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)$

suy ra đpcm

[kekkei]

a/Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

$\frac{1}{2}((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)\geqslant 0$ (luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c

b/$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b)^3+c^3-3a^2b-3ab^2-3abc=(a+b+c)\left [(a+b)^2-c(a+b)+c^2 \right ]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a^2+2ab+b^2-bc-ca+c^2-3ab)=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$

Thay vào biểu thức rồi rút gọn ta được:

$\frac{a^3+b^3+c^3-3abc}{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca}=a+b+c=2009$

[canletgo]

a) Theo BĐT Cauchy dạng $x^{2}+y^{2}\geq 2xy$ ta có:

$a^{2}+b^{2}\geq 2ab$

$b^{2}+c^{2}\geq 2bc$

$c^{2}+a^{2}\geq 2ca$

Cộng từng vế của chúng ta được: $2(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 2(ab+bc+ca)$

Suy ra đpcm

[trinhminhduc2004]

a) Ta có:

$a^{2}+b^{2}\geq 2ab$

$b^{2}+c^{2}\geq 2bc$

$c^{2}+a^{2}\geq 2ca$

(Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho a,b>0)

Suy ra $2(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 2(ab+bc+ca)$

Hay $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca$

Suy ra đpcm