Chủ đề này có 1 trả lời

[bangbang1412]

Cho $G = \mathbb{Z/p^{r}}$ trong đó $r$ nguyên dương , $p$ nguyên tố . Chứng minh rằng nhóm nhân các phần tử khả nghịch của $G$ gọi là $G^{*}$ hoặc là đẳng cấu $\mathbb{Z/p} \times \mathbb{Z/p^{r-2}}$ hoặc là cyclic . Trường hợp thứ nhất xảy ra khi và chỉ khi $p=2 ,r \geq 3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 10-09-2017 - 17:30

[vutuanhien]

Cho $G = \mathbb{Z/p^{r}}$ trong đó $r$ nguyên dương , $p$ nguyên tố . Chứng minh rằng nhóm nhân các phần tử khả nghịch của $G$ gọi là $G^{*}$ hoặc là đẳng cấu $\mathbb{Z/p} \times \mathbb{Z/p^{r-2}}$ hoặc là cyclic . Trường hợp thứ nhất xảy ra khi và chỉ khi $p=2 ,r \geq 3$

Với $p=2$, ta có một kết quả dễ dàng chứng minh được bằng quy nạp, đấy là

$(1+2k)^{2^{r-2}}\equiv 1$ (mod $2$)

với mọi $k\in \mathbb{Z}$. Điều này chứng tỏ không có phần tử nào của $(\mathbb{Z/2^{r}})^{*}$ có cấp là $2^{r-1}$. Mặt khác, ta có phần tử $x\mapsto x^{5}$ là một phần tử có cấp $2^{r-2}$. Từ đây ta có phân tích như mong muốn, tức là 

$(\mathbb{Z/2^{r}})^{*}\cong \mathbb{Z/2^{r-2}}\times \mathbb{Z/2}$

Với $p\ge 3$, ta chứng minh rằng tồn tại $r$ mà $r^{p-1}\not\equiv 1$ (mod $p^2$). Thật vậy ta biết rằng nhóm $(\mathbb{F}_{p})^{*}$ là một nhóm cyclic nên tồn tại $r$ có cấp là $p-1$. Nếu $r$ đã thỏa mãn điều ta đang cần thì xong. Nếu không thì $r^{p-1}\equiv 1$ (mod $p^2$) ta xét $r'=r+p$. Sử dụng khai triển Newton ta có

$r'^{p-1}=(r+p)^{p-1}\equiv r^{p-1}+(p-1)pr^{p-2}\equiv 1+(p-1)pr^{p-2}$ (mod $p^2$)

Vì$(r,p)=1$ nên $p$ không chia hết $r^{p-2}$ và do đó $r'^{p-1}\not\equiv 1$ (mod $p^2$).

Sử dụng điều này và bằng quy nạp ta có với mọi số tự nhiên $k$ thì 

$r^{p^{k-2}(p-1)}\not\equiv 1$ (mod $p^k$)

Điều này chứng tỏ $r$ không thể có cấp là $p^{k-2}(p-1)$. Mặt khác theo cách chọn ở trên thì $r^{p-1}\equiv 1$ (mod $p$) nên cấp của $r$ trong $(\mathbb{Z}/p^k)^{*}$ phải chia hết cho $p-1$, tức là cấp của $r$ có dạng $p^{m}(p-1)$ mà $m=k-2$ không thỏa mãn nên không thỏa mãn với mọi $m\le k-2$, tức là cấp của $r$ phải bằng $p^{k-1}(p-1)$. Điều này chứng tỏ $(\mathbb{Z}/p^k)^{*}$ là một nhóm cyclic.