Tìm tất cả các hàm số : $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ sao cho:
$f(x^2-f(y)^2)=xf(x)-y^2$
Tìm tất cả các hàm số : $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ sao cho:
$f(x^2-f(y)^2)=xf(x)-y^2$
Đặt $f(0)=a$
$P(x,y): f(x^2-f(y)^2)=xf(x)-y^2$
$P(-x,y)-P(x,y) \Rightarrow f(x)=-f(-x),\forall x \neq 0$
$P(0,0): f(-a^2)=0 \Rightarrow f(a^2)=0$
$P(x,-a^2): f(x^2)=xf(x)-a^4$
$P(1,-a^2):-a^4=0 \Leftrightarrow a=0$
Kết hợp lại ta có $f(x^2)=xf(x)$ và $f(x)=-f(-x),\forall x$
$P(0,y): f(-f(y)^2)=-y^2$
$P(f(x),x): f(x)f(f(x))=x^2$
$P(f(x),y): f(f(x)^2-f(y)^2)=x^2-y^2$
Do đó $f$ toàn ánh.
$P(x,y): f(x^2-f(y)^2)=f(x^2)+f(-f(y)^2)$
Mà $x^2$ và $f(y)^2$ toàn ánh trên $/mathBB{R^+}$ nên
$f(x-y)=f(x)+f(-y)=f(x)-f(y),\forall x,y \geq 0 (1)$
Từ $(1)$ thay $x \rightarrow x+y$ kết hợp $f$ lẻ ta có
$f(x+y)=f(x)+f(y),\forall x,y$
Từ đây ta tính $f((x+1)^2 )$ theo 2 cách.
$f((x+1)^2)=(x+1)f(x+1)=(x+1)f(x)+(x+1)f(1)$
$f((x+1)^2)=f(x^2)+f(2x)+f(1)=xf(x)+2f(x)+f(1)$
Do đó $f(x)=f(1)x$. Thay ngược lại có $f(1)=\pm 1$.
Thử lại cả 2 hàm thoả mãn. Kết luận...
Đặt $f(0)=a$
$P(x,y): f(x^2-f(y)^2)=xf(x)-y^2$
$P(-x,y)-P(x,y) \Rightarrow f(x)=-f(-x),\forall x \neq 0$$P(0,0): f(-a^2)=0 \Rightarrow f(a^2)=0$
$P(x,-a^2): f(x^2)=xf(x)-a^4$
$P(1,-a^2):-a^4=0 \Leftrightarrow a=0$
Kết hợp lại ta có $f(x^2)=xf(x)$ và $f(x)=-f(-x),\forall x$
$P(0,y): f(-f(y)^2)=-y^2$
$P(f(x),x): f(x)f(f(x))=x^2$
$P(f(x),y): f(f(x)^2-f(y)^2)=x^2-y^2$
Do đó $f$ toàn ánh.
$P(x,y): f(x^2-f(y)^2)=f(x^2)+f(-f(y)^2)$
Mà $x^2$ và $f(y)^2$ toàn ánh trên $/mathBB{R^+}$ nên
$f(x-y)=f(x)+f(-y)=f(x)-f(y),\forall x,y \geq 0 (1)$
Từ $(1)$ thay $x \rightarrow x+y$ kết hợp $f$ lẻ ta có
$f(x+y)=f(x)+f(y),\forall x,y$
Từ đây ta tính $f((x+1)^2 )$ theo 2 cách.
$f((x+1)^2)=(x+1)f(x+1)=(x+1)f(x)+(x+1)f(1)$
$f((x+1)^2)=f(x^2)+f(2x)+f(1)=xf(x)+2f(x)+f(1)$
Do đó $f(x)=f(1)x$. Thay ngược lại có $f(1)=\pm 1$.
Thử lại cả 2 hàm thoả mãn. Kết luận...
Dòng f(x−y)=f(x)+f(−y)=f(x)−f(y),∀x,y≥0(1) là sao vậy bạn, làm sao để suy ra được
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Shaddoll: 07-01-2018 - 21:28
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(x-f(y)) = f(f(y)) +x.f(y) + f(y) -1$Bắt đầu bởi noname0101, 21-02-2024 phương trình hàm |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(2x+3y)=2f(x)+3g(y)$Bắt đầu bởi duongnhi, 26-11-2023 phương trình hàm |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(3x+2y)=f(x)+2f(x+y)$Bắt đầu bởi duongnhi, 26-11-2023 phương trình hàm |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(2xy+x)=f(xy+x)+f(x)f(y)$Bắt đầu bởi do viet anh, 07-06-2023 phương trình hàm |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(x^2+yf(x))=xf(f(x))+f(x)f(y), \forall x,y \in \mathbb{R}.$Bắt đầu bởi WilliamFan, 26-05-2023 phương trình hàm, đại số |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh