Ký hiệu $S_{n}$ là tổng của $n$ số nguyên tố đầu tiên, ví dụ $S_{1} = 2$ , $S_{2} = 5$, $S_{3} = 10$, ... CMR giữa hai số $S_{n} $ và $S_{n+1}$ luôn có một số chính phương
Ký hiệu $S_{n}$ là tổng của $n$ số nguyên tố đầu tiên, ví dụ $S_{1} = 2$ , $S_{2} = 5$, $S_{3} = 10$,
#1
Đã gửi 11-08-2017 - 11:27
#2
Đã gửi 12-08-2017 - 09:55
với $n\leq 3$ bài toán đúng
xét $n\geq 4$
giả sử k tồn tại số tự nhiên a để $S_n\leq a^2$ và $S_{n+1}\geq a^2$
=> tồn tại số tự nhiên k thỏa mãn $k^2 < S_n < S_{n+1} < (k+1)^2$
=>$ S_{n+1}-S_n<2k+1 => p_{n+1} < 2k+1$ với $p_{n+1}$ là số nguyên tố thứ n+1
xét bài toán phụ với i>4 thì $S_i<(\frac{p_i+1}{2})^2$
với i=5, $S_i=2+3+5+7+11<(\frac{11+1}{2})^2$
với i>5: $S_i=S_{i-1}+p_i< (\frac{p_{i-1}+1}{2})^2+p_i$ mà $p_i\leq p_i-2$
=> $S_i< (\frac{p_i-1}{2})^2+p_i=(\frac{p_i+1}{2})^2$
vậy$ S_i<(\frac{p_i+1}{2})^2$ với mọi i >4
=>$ k^2< S_{n+1} < (\frac{p_{n+1}+1}{2})^2 => p_{n+1}>2k-1$
mà $p_{n+1} < 2k+1 => p_{n+1}=2k$ (vô lý )
vậy điều giả sử ban đầu là sai => dpcm
- NHoang1608 yêu thích
$\frac{(x!)^2.(-1)^x+1}{2x+1}\in Z $ (với $x\in N)<=>2x+1$ là số nguyên tố
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: số học, toán rời rạc
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh