Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Cho a,b,c>0 và abc=1 CMR: P=$\sum 1/(a^2+ab) >= 3/2$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 12 trả lời

#1 hoicmvsao

hoicmvsao

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 299 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghĩa Đàn - Nghệ An (PBC)
  • Sở thích:Tổ hợp, Bất đẳng thức

Đã gửi 12-08-2017 - 20:15

Cho  a,b,c>0 và abc=1  CMR: P=$\sum 1/(a^2+ab) >= 3/2$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoicmvsao: 12-08-2017 - 20:18


#2 trieutuyennham

trieutuyennham

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 470 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vĩnh Phúc
  • Sở thích:??

Đã gửi 12-08-2017 - 20:30

Cho  a,b,c>0 và abc=1  CMR: P=$\sum 1/(a^2+ab) >= 3/2$

Ta có

$VT=\sum \frac{a}{a^{3}+1}= \sum a-\sum \frac{a^{2}}{a^{3}+1}\geq \sum a-\sum \frac{\sqrt{a}}{2}\geq \sum \frac{a+b+c+\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{2}\geq \frac{3}{2}$


                                                                           Tôi là chính tôi


#3 viet9a14124869

viet9a14124869

    Trung úy

  • Thành viên
  • 903 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:~NGT~

Đã gửi 12-08-2017 - 20:34

Ta có

$VT=\sum \frac{a}{a^{3}+1}= \sum a-\sum \frac{a^{2}}{a^{3}+1}\geq \sum a-\sum \frac{\sqrt{a}}{2}\geq \sum \frac{a+b+c+\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{2}\geq \frac{3}{2}$

Đoạn này sai rồi , phải là $\sum \frac{a}{a^3+1}=\sum a-\sum \frac{a^4}{a^3+1}$ mới đúng :))

Với lại đề là $\sum \frac{1}{a^2+ab}$ chứ không phải $\sum \frac{1}{a^2+bc}$ đâu :))


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viet9a14124869: 12-08-2017 - 20:36

                                                                    SÓNG BẮT ĐẦU TỪ GIÓ

                                                                    GIÓ BẮT ĐẦU TỪ ĐÂU ?

                                                                    ANH CŨNG KHÔNG BIẾT NỮA 

                                                                    KHI NÀO...? TA YÊU NHAU .


#4 trieutuyennham

trieutuyennham

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 470 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vĩnh Phúc
  • Sở thích:??

Đã gửi 12-08-2017 - 21:11

Cho  a,b,c>0 và abc=1  CMR: P=$\sum 1/(a^2+ab) >= 3/2$

 

Đoạn này sai rồi , phải là $\sum \frac{a}{a^3+1}=\sum a-\sum \frac{a^4}{a^3+1}$ mới đúng :))

Với lại đề là $\sum \frac{1}{a^2+ab}$ chứ không phải $\sum \frac{1}{a^2+bc}$ đâu :))

đề sai $a=1;b=\frac{1}{2};c=2$


                                                                           Tôi là chính tôi


#5 viet9a14124869

viet9a14124869

    Trung úy

  • Thành viên
  • 903 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:~NGT~

Đã gửi 12-08-2017 - 21:13

Cho  a,b,c>0 và abc=1  CMR: P=$\sum 1/(a^2+ab) >= 3/2$

Không giảm tính tổng quát , giả sử a nằm giữa b và c .

Ta chứng minh $\frac{1}{a^2+ab}+\frac{1}{c^2+ac}\geq \frac{1}{2a^2}+\frac{1}{bc+c^2}\Leftrightarrow (a-b)(c-a)(2a^2+2ca+c^2+2ab+bc)\geq 0$ ( đúng ) .

$\rightarrow \sum \frac{1}{a^2+ab}\geq \frac{1}{2a^2}+\frac{1}{b^2+bc}+\frac{1}{c^2+bc}=\frac{1}{2a^2}+\frac{(b+c)^2}{bc(b+c)^2}=\frac{1}{2a^2}+\frac{1}{bc}=\frac{1}{2a^2}+a\geq \frac{3}{2}$

Đẳng thức trên đúng theo bất đẳng thức AM-GM vì $\frac{1}{2a^2}+a=\frac{1}{2a^2}+\frac{a}{2}+\frac{a}{2}\geq 3.\sqrt[3]{\frac{1}{8}}=\frac{3}{2}$ ( q.e.d )

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1 .

 

đề sai $a=1;b=\frac{1}{2};c=2$

Thử lại đi đúng mà bạn :))


                                                                    SÓNG BẮT ĐẦU TỪ GIÓ

                                                                    GIÓ BẮT ĐẦU TỪ ĐÂU ?

                                                                    ANH CŨNG KHÔNG BIẾT NỮA 

                                                                    KHI NÀO...? TA YÊU NHAU .


#6 cristianoronaldo

cristianoronaldo

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 231 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Sông Lô-Vĩnh Phúc
  • Sở thích:Toán học, bóng đá,...

Đã gửi 15-08-2017 - 18:30

Cho  a,b,c>0 và abc=1  CMR: P=$\sum 1/(a^2+ab) >= 3/2$

Do $abc=1$ nên tồn tại số thực dương x,y,z thỏa mãn:$a=\frac{x}{y},b=\frac{z}{x},c=\frac{y}{z}$

Khi đó bất đẳng thức trở thành:

$P=\sum \frac{y^2}{x^2+yz}\geq \frac{3}{2}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-SchwarzVasc ta có:

$P=\sum \frac{y^4}{x^2y^2+y^3z}\geq \frac{(\sum x^2)^2}{\sum x^2y^2+\sum x^3y}\geq \frac{(\sum x^2)^2}{\frac{1}{3}(\sum x^2)^2+\frac{1}{3}(\sum x^2)^2}=\frac{3}{2}$

$\Rightarrow Q.E.D$


Nothing in your eyes


#7 hoicmvsao

hoicmvsao

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 299 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghĩa Đàn - Nghệ An (PBC)
  • Sở thích:Tổ hợp, Bất đẳng thức

Đã gửi 21-08-2017 - 11:58

BĐT Vasc CM thế nào ?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoicmvsao: 21-08-2017 - 12:06


#8 Duy Thai2002

Duy Thai2002

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 433 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm,Vĩnh Long

Đã gửi 21-08-2017 - 12:36

BĐT Vasc CM thế nào ?

Bđt Vasc: Cho,a,b,c$\geq 0$ thì ta có bđt sau: $(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}\geq 3(a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a)$

CM:

Bđt <=> $2(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-6(a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a)\geq 0$

<=> $(a^{2}-2ac-c^{2}+ab+bc)^{2}+(b^{2}-2bc-a^{2}+ab+bc)^{2}+(c^{2}-2ab-b^{2}+bc+ca)^{2}\geq 0$(Đúng)

=> Đpcm.


Sự khác biệt giữa thiên tài và kẻ ngu dốt là ở chỗ thiên tài luôn có giới hạn.


#9 hoicmvsao

hoicmvsao

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 299 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghĩa Đàn - Nghệ An (PBC)
  • Sở thích:Tổ hợp, Bất đẳng thức

Đã gửi 22-08-2017 - 18:42

Có cách ngắn hơn không , CM BĐT Vacs quá dài mà sao biết nhóm,biến đổi như vậy... :wacko:



#10 hoicmvsao

hoicmvsao

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 299 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghĩa Đàn - Nghệ An (PBC)
  • Sở thích:Tổ hợp, Bất đẳng thức

Đã gửi 22-08-2017 - 19:30

Do $abc=1$ nên tồn tại số thực dương x,y,z thỏa mãn:$a=\frac{x}{y},b=\frac{z}{x},c=\frac{y}{z}$

Khi đó bất đẳng thức trở thành:

$P=\sum \frac{y^2}{x^2+yz}\geq \frac{3}{2}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-SchwarzVasc ta có:

$P=\sum \frac{y^4}{x^2y^2+y^3z}\geq \frac{(\sum x^2)^2}{\sum x^2y^2+\sum x^3y}\geq \frac{(\sum x^2)^2}{\frac{1}{3}(\sum x^2)^2+\frac{1}{3}(\sum x^2)^2}=\frac{3}{2}$

$\Rightarrow Q.E.D$

BĐT Vasc CM thế nào ?



#11 hoicmvsao

hoicmvsao

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 299 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghĩa Đàn - Nghệ An (PBC)
  • Sở thích:Tổ hợp, Bất đẳng thức

Đã gửi 26-08-2017 - 23:42

Bđt Vasc: Cho,a,b,c$\geq 0$ thì ta có bđt sau: $(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}\geq 3(a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a)$

CM:

Bđt <=> $2(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-6(a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a)\geq 0$

<=> $(a^{2}-2ac-c^{2}+ab+bc)^{2}+(b^{2}-2bc-a^{2}+ab+bc)^{2}+(c^{2}-2ab-b^{2}+bc+ca)^{2}\geq 0$(Đúng)

=> Đpcm.

Dài thế mà vẫn biến đổi được à?



#12 ankhongu

ankhongu

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 4 Bài viết

Đã gửi 23-01-2020 - 13:02

Không giảm tính tổng quát , giả sử a nằm giữa b và c .

Ta chứng minh $\frac{1}{a^2+ab}+\frac{1}{c^2+ac}\geq \frac{1}{2a^2}+\frac{1}{bc+c^2}\Leftrightarrow (a-b)(c-a)(2a^2+2ca+c^2+2ab+bc)\geq 0$ ( đúng ) .

$\rightarrow \sum \frac{1}{a^2+ab}\geq \frac{1}{2a^2}+\frac{1}{b^2+bc}+\frac{1}{c^2+bc}=\frac{1}{2a^2}+\frac{(b+c)^2}{bc(b+c)^2}=\frac{1}{2a^2}+\frac{1}{bc}=\frac{1}{2a^2}+a\geq \frac{3}{2}$

Đẳng thức trên đúng theo bất đẳng thức AM-GM vì $\frac{1}{2a^2}+a=\frac{1}{2a^2}+\frac{a}{2}+\frac{a}{2}\geq 3.\sqrt[3]{\frac{1}{8}}=\frac{3}{2}$ ( q.e.d )

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1 .

 

Thử lại đi đúng mà bạn :))

Cho em hỏi, làm sao để mà nghĩ đến và tìm ra được cái BĐT phụ đó vậy ạ ?



#13 tthnew

tthnew

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 248 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 23-01-2020 - 19:24

BĐT Vacs chỉ cần đặt $a = x + c; b = y +c$ rồi sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc 2 :D

 

Hint






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh