Chủ đề này có 4 trả lời

[tsudere]

Cho tam giác ABC là một tam giác bất kì. Chứng minh rằng với mọi số x ta đều có

 

$1+\frac{1}{2}x^2$ ≥ $cosA+x(cosB+cosC)$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tsudere: 12-08-2017 - 21:23

[Nguyenhuyen_AG]

 

Cho tam giác ABC là một tam giác bất kì. Chứng minh rằng với mọi số x ta đều có

 

$1+\frac{1}{2}x^2$ ≥ $cosA+x(cosB+cosC)$

 

 

 

Mình có một cách dùng tam thức bậc hai nhưng khá xấu.

[kekkei]

 

Cho tam giác ABC là một tam giác bất kì. Chứng minh rằng với mọi số x ta đều có

 

$1+\frac{1}{2}x^2$ ≥ $cosA+x(cosB+cosC)$

 

 

$cosA+x(cosB+cosC)-1-\frac{1}{2}x^2=-2sin^2\frac{A}{2}+2xcos\frac{B+C}{2}cos\frac{B-C}{2}-\frac{1}{2}x^2=-2[sin\frac{A}{2}+\frac{1}{2}xcos\frac{B-C}{2}]^2-\frac{1}{2}x^2[1-cos^2\frac{B-C}{2}]=-2[sin\frac{A}{2}+\frac{1}{2}xcos\frac{B-C}{2}]^2-\frac{1}{2}x^2sin^2\frac{B-C}{2}\leqslant 0$

 suy ra đpcm

[tsudere]

ban

 

Mình có một cách dùng tam thức bậc hai nhưng khá xấu

bạn cứ nói đi ạ

[Nguyenhuyen_AG]

 

Cho tam giác ABC là một tam giác bất kì. Chứng minh rằng với mọi số x ta đều có

 

$1+\frac{1}{2}x^2$ ≥ $cosA+x(cosB+cosC)$

 

Xem hiệu hai vế là một tam thức bậc hai theo $x$ với hệ số của $x^2$ dương. Để chứng minh tam thức này không âm ta chỉ cần chứng minh biệt thức $\Delta$ của nó luôn $\leqslant 0$ là được.

 

Thật vậy

\[\begin{aligned}\Delta & = (\cos B + \cos C)^2 + 2\cos A - 2 \\&= \frac14\left(\frac{c^2+a^2-b^2}{ca}+\frac{a^2+b^2-c^2}{ab}\right)^2 + \frac{b^2+c^2-a^2}{bc}-2 \\&= -\frac{(b-c)^2\left[2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-a^4-b^4-c^4\right] }{4a^2b^2c^2} \leqslant 0.\end{aligned}\]

Ta có điều phải chứng minh.