Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * - - 2 Bình chọn

[Toán 8] Chuyên đề Phép cộng và phép trừ phân thức đại số

toán 8 phân thức đại số cơ bản

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 vietlao001

vietlao001

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 4 Bài viết

Đã gửi 15-08-2017 - 10:49

​Chào các bạn, mình thấy trên diễn đàn có nhiều topic dành cho các bạn học sinh giỏi, nhưng ít chủ đề dành cho các bạn có lực học trung bình khá.

​Mình muốn lập topic này để làm nơi rèn luyện cho các bạn, rất mong nhận được sự ủng hộ của tất cả mọi người.

​Chuyên đề đầu tiên là Phép cộng và phép trừ phân thức đại số - Toán 8.



#2 vietlao001

vietlao001

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 4 Bài viết

Đã gửi 15-08-2017 - 11:31

A. Một số kiến thức cần nhớ

- Muốn cộng hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức.

​- Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.

​- Phép cộng các phân thức có các tính chất giao hoán, kết hợp.

- Muốn trừ phân thức $\frac{A}{B}$ cho phân thức $\frac{C}{D}$ , ta cộng $\frac{A}{B}$ với phân thức đối của $\frac{C}{D}$:

$$\frac{A}{B} - \frac{C}{D} = \frac{A}{B} + \left( { - \frac{C}{D}} \right)$$

B. Một số ví dụ minh họa

Ví dụ 1: 

Thực hiện phép tính:

$$\frac{2}{{{x^2} - 1}} - \frac{1}{{{x^2} + x}} + \frac{{{x^2} - 3}}{{{x^3} - x}}$$

 

Hướng dẫn giải

Ta có:

$$\frac{2}{{{x^2} - 1}} - \frac{1}{{{x^2} + x}} + \frac{{{x^2} - 3}}{{{x^3} - x}} = \frac{2}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} - \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} + \frac{{{x^2} - 3}}{{x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}$$​

$ = \frac{{2x - \left( {x - 1} \right) + \left( {{x^2} - 3} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \frac{{2x - x + 1 + {x^2} - 3}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \frac{{{x^2} + x - 2}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}$

$ = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \frac{{x + 2}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{x + 2}}{{{x^2} + x}}$

Ví dụ 2:

Cho biểu thức:

$P = \frac{2}{{x - 1}} + \frac{{2x - 1}}{{{x^2} + x + 1}} - \frac{{{x^2} + 6x + 2}}{{1 - {x^3}}}$

a. Rút gọn P.

b. Tìm $x \in Z$ để P có giá trị nguyên.

 

Hướng dẫn giải

a. Rút gọn P:

$P = \frac{2}{{x - 1}} + \frac{{2x - 1}}{{{x^2} + x + 1}} - \frac{{{x^2} + 6x + 2}}{{1 - {x^3}}} = \frac{2}{{x - 1}} + \frac{{2x - 1}}{{{x^2} + x + 1}} - \frac{{{x^2} + 6x + 2}}{{\left( {1 - x} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}$

$P = \frac{{2.\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} + \frac{{2{x^2} - 3x + 1}}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} - \left[ { - \frac{{{x^2} + 6x + 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}} \right]$

$ \Leftrightarrow P = \frac{{2{x^2} + 2x + 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} + \frac{{2{x^2} - 3x + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} + \frac{{{x^2} + 6x + 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}$

$ \Leftrightarrow P = \frac{{2{x^2} + 2x + 2 + 2{x^2} - 3x + 1 + {x^2} + 6x + 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \frac{{5{x^2} + 5x + 5}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \frac{5}{{x - 1}}$

b. Với $x \in Z \Leftrightarrow x - 1 \in Z \Rightarrow P \in Z \Leftrightarrow 5 \vdots x - 1$

$x - 1 \in \left\{ { \pm 1, \pm 5} \right\} \Leftrightarrow x \in \left\{ { - 4,0,2,6} \right\}$

Ví dụ 3:

Cho $n \in Z$ . Chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị nguyên.

$A = \frac{{125{n^3}}}{6} + \frac{{25{n^2}}}{2} + \frac{{5n}}{3}$

 

Hướng dẫn giải

Ta có:

$A = \frac{{125{n^3}}}{6} + \frac{{25{n^2}}}{2} + \frac{{5n}}{3} = \frac{{125{n^3}}}{6} + \frac{{25{n^2}.3}}{{2.3}} + \frac{{5n.2}}{{3.2}} = \frac{{125{n^3}}}{6} + \frac{{75{n^2}}}{6} + \frac{{10n}}{6}$

$ \Leftrightarrow A = \frac{{125{n^3} + 75{n^2} + 10n}}{6} = \frac{{5n\left( {25{n^2} + 15n + 2} \right)}}{6} = \frac{{5n\left( {5n + 1} \right)\left( {5n + 2} \right)}}{6}$

Nhận xét: $5n;5n + 1;5n + 2$ là 3 số nguyên liên tiếp suy ra có 1 số chia hết cho 3 và ít nhất 1 số chia hết cho 2 nên: .

$5n\left( {5n + 1} \right)\left( {5n + 2} \right) \vdots 6 \Leftrightarrow A \in Z$

Ví dụ 4:

Rút gọn các biểu thức sau:

a. $A = \frac{1}{{\left( {x - y} \right)\left( {x - z} \right)}} + \frac{1}{{\left( {y - z} \right)\left( {y - x} \right)}} + \frac{1}{{\left( {z - x} \right)\left( {z - y} \right)}}$

b. $B = \frac{{yz}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x - z} \right)}} + \frac{{zx}}{{\left( {y - z} \right)\left( {y - x} \right)}} + \frac{{xy}}{{\left( {z - x} \right)\left( {z - y} \right)}}$

Hướng dẫn giải

a.

$A = \frac{1}{{\left( {x - y} \right)\left( {x - z} \right)}} + \frac{1}{{\left( {y - z} \right)\left( {y - x} \right)}} + \frac{1}{{\left( {z - x} \right)\left( {z - y} \right)}}$

$ = \frac{{ - 1}}{{\left( {x - y} \right)\left( {z - x} \right)}} + \frac{{ - 1}}{{\left( {y - z} \right)\left( {x - y} \right)}} + \frac{{ - 1}}{{\left( {z - x} \right)\left( {y - z} \right)}} = \frac{{ - 1\left( {y - z} \right) - 1\left( {z - x} \right) - 1\left( {x - y} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}}$

$ = \frac{0}{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}} = 0$

​b.

$B = \frac{{yz}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x - z} \right)}} + \frac{{zx}}{{\left( {y - z} \right)\left( {y - x} \right)}} + \frac{{xy}}{{\left( {z - x} \right)\left( {z - y} \right)}}$

$ = \frac{{ - yz}}{{\left( {x - y} \right)\left( {z - x} \right)}} + \frac{{ - zx}}{{\left( {y - z} \right)\left( {x - y} \right)}} + \frac{{ - xy}}{{\left( {z - x} \right)\left( {y - z} \right)}} = \frac{{ - yz\left( {y - z} \right) - zx\left( {z - x} \right) - xy\left( {x - y} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}}$

$ = \frac{{yz\left( {z - y} \right) + xz\left( {x - z} \right) + xy\left( {y - x} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}} = \frac{{y{z^2} - {y^2}z + x{y^2} - {x^2}y + xz\left( {x - z} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}}$

$ = \frac{{y\left( {{z^2} - {x^2}} \right) - {y^2}\left( {z - x} \right) + xz\left( {x - z} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}} = \frac{{\left( {xy + yz - {y^2} - xz} \right)\left( {z - x} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}}$

$ = \frac{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}} = 1$



#3 vietlao001

vietlao001

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 4 Bài viết

Đã gửi 16-08-2017 - 09:01

Bài tập

Bài 1:

Làm các phép tính sau:

a. $\frac{x}{{xy - {y^2}}} - \frac{y}{{{x^2} - xy}}$

b. $\frac{{x - y}}{{2x + 2y}} + \frac{{{x^2} + 3{y^2}}}{{2{y^2} - 2{x^2}}}$

Bài 2:

Tính bằng cách hợp lý:

a. $\frac{{{x^2} - xy}}{{{x^2} - 2xy + {y^2}}} + \frac{{{y^2} + xy}}{{{x^2} + 2xy + {y^2}}} + \frac{{2xy}}{{{y^2} - {x^2}}}$

b. $\frac{{{x^4} - {{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2} - {x^2}}} + \frac{{{x^2} - {{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2}}}{{{x^2}{{\left( {x + 1} \right)}^2} - 1}} + \frac{{{x^2}{{\left( {x - 1} \right)}^2} - 1}}{{{x^4} - {{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$

Bài 3:

Cho $n \in Z$, chứng minh rằng các biểu thức sau có giá trị nguyên:

a. $A = \frac{{{n^3}}}{6} - \frac{{{n^2}}}{2} + \frac{n}{3}$

b. $B = \frac{{{n^4}}}{{12}} - \frac{{{n^3}}}{6} - \frac{{{n^2}}}{{12}} + \frac{n}{6}$

Bài 4:

Tính tổng:

$P = \frac{1}{{\left( {y - z} \right)\left( {{x^2} + xz - {y^2} - yz} \right)}} + \frac{1}{{\left( {z - x} \right)\left( {{y^2} + xy - {z^2} - xz} \right)}} + \frac{1}{{\left( {x - y} \right)\left( {{z^2} + zy - {x^2} - xy} \right)}}$

Bài 5:

Tìm $x \in Z$ để các biểu thức sau có giá trị nguyên:

a. $A = \frac{{2{x^2} - 5x + 3}}{{2x - 5}}$

b. $B = \frac{{3{x^3} + 9{x^2} - x - 5}}{{x + 3}}$

Bài 6:

a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P = \frac{{2\left( {2x + 1} \right)}}{{{x^2} + 2}}$

b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$Q = \frac{{2{x^2} - 4x + 17}}{{{x^2} - 2x + 4}}$

Bài 7:

Tìm m và n sao cho:

$\frac{{{x^2} + 5}}{{{x^3} - 3x + 2}} = \frac{m}{{x + 2}} + \frac{n}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$

Bài 8:

Tính tổng:

a. $\frac{{y + z}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x - z} \right)}} + \frac{{z + x}}{{\left( {y - z} \right)\left( {y - x} \right)}} + \frac{{x + y}}{{\left( {z - x} \right)\left( {z - y} \right)}}$

b. $\frac{1}{{x\left( {x - y} \right)\left( {x - z} \right)}} + \frac{1}{{y\left( {y - z} \right)\left( {y - x} \right)}} + \frac{1}{{z\left( {z - x} \right)\left( {z - y} \right)}}$

Bài 9:

Tính các tổng sau:

a. $A = \frac{x}{{\left( {x - y} \right)\left( {x - z} \right)}} + \frac{y}{{\left( {y - z} \right)\left( {y - x} \right)}} + \frac{z}{{\left( {z - x} \right)\left( {z - y} \right)}}$

b. $B = \frac{{{x^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x - z} \right)}} + \frac{{{y^2}}}{{\left( {y - z} \right)\left( {y - x} \right)}} + \frac{{{z^2}}}{{\left( {z - x} \right)\left( {z - y} \right)}}$

c. $C = \frac{{{x^3}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x - z} \right)}} + \frac{{{y^3}}}{{\left( {y - z} \right)\left( {y - x} \right)}} + \frac{{{z^3}}}{{\left( {z - x} \right)\left( {z - y} \right)}}$

Bài 10:

Tính các giá trị của các biểu thức sau:

a. $A = \frac{{5a - b}}{{3a + 7}} + \frac{{3b - 2a}}{{2b - 7}}$ với $a \ne  - \frac{7}{3};b \ne \frac{7}{2}$ và $2a - b = 7$

b. $B = \frac{{8a + 5b}}{{5a - 1}} + \frac{{3a + b}}{{4b + 1}}$ với $a \ne \frac{1}{5};b \ne \frac{1}{4}$ và $3a + 5b =  - 1$

Bài 11:

Tính tổng:

a. $P = \frac{x}{{ - xy + x + 1}} - \frac{y}{{yz - y + 1}} + \frac{z}{{xz + z - 1}}$ với $xyz = 1$ và các mẫu thức đều khác 0.

b. $Q = \frac{x}{{xy + x + 2\;}} + \frac{y}{{yz + y + 1}} + \frac{{2z}}{{xz + 2z + 2}}$ với $xyz = 2$ và các mẫu thức đều khác 0.

Bài 12:

Cho $x,y,z$ đôi một khác nhau và khác 0 thỏa mãn điều kiện $xy + yz + zx = 0$. Tìm giá trị của tổng:

$A = \frac{{{x^2}}}{{{x^2} + 2yz}} + \frac{{{y^2}}}{{{y^2} + 2zx}} + \frac{{{z^2}}}{{{z^2} + 2xy}}$

Bài 13:

Cho $x,y,z \ne  \pm 1$ và $xy + yz + zx = 1$. Chứng minh rằng:

$\frac{x}{{1 - {x^2}}} + \frac{y}{{1 - {y^2}}} + \frac{z}{{1 - {z^2}}} = \frac{{4xyz}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}$

Bài 14:

Cho $xyz \ne 0$ và $x + y + z = 0$. Tính:

$A = \frac{{{x^2}}}{{{y^2} + {z^2} - {x^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{z^2} + {x^2} - {y^2}}} + \frac{{{z^2}}}{{{x^2} + {y^2} - {z^2}}}$

Bài 15:

Cho ba số $a,b,c \ne 0$ và ${\left( {a + b + c} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2}$. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{{{a^3}}} + \frac{1}{{{b^3}}} + \frac{1}{{{c^3}}} = \frac{3}{{abc}}$

 

 

 

             







0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh