A. Một số kiến thức cần nhớ
- Muốn cộng hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức.
- Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.
- Phép cộng các phân thức có các tính chất giao hoán, kết hợp.
- Muốn trừ phân thức $\frac{A}{B}$ cho phân thức $\frac{C}{D}$ , ta cộng $\frac{A}{B}$ với phân thức đối của $\frac{C}{D}$:
$$\frac{A}{B} - \frac{C}{D} = \frac{A}{B} + \left( { - \frac{C}{D}} \right)$$
B. Một số ví dụ minh họa
Ví dụ 1:
Thực hiện phép tính:
$$\frac{2}{{{x^2} - 1}} - \frac{1}{{{x^2} + x}} + \frac{{{x^2} - 3}}{{{x^3} - x}}$$
Hướng dẫn giải
Ta có:
$$\frac{2}{{{x^2} - 1}} - \frac{1}{{{x^2} + x}} + \frac{{{x^2} - 3}}{{{x^3} - x}} = \frac{2}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} - \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} + \frac{{{x^2} - 3}}{{x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}$$
$ = \frac{{2x - \left( {x - 1} \right) + \left( {{x^2} - 3} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \frac{{2x - x + 1 + {x^2} - 3}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \frac{{{x^2} + x - 2}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}$
$ = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \frac{{x + 2}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{x + 2}}{{{x^2} + x}}$
Ví dụ 2:
Cho biểu thức:
$P = \frac{2}{{x - 1}} + \frac{{2x - 1}}{{{x^2} + x + 1}} - \frac{{{x^2} + 6x + 2}}{{1 - {x^3}}}$
a. Rút gọn P.
b. Tìm $x \in Z$ để P có giá trị nguyên.
Hướng dẫn giải
a. Rút gọn P:
$P = \frac{2}{{x - 1}} + \frac{{2x - 1}}{{{x^2} + x + 1}} - \frac{{{x^2} + 6x + 2}}{{1 - {x^3}}} = \frac{2}{{x - 1}} + \frac{{2x - 1}}{{{x^2} + x + 1}} - \frac{{{x^2} + 6x + 2}}{{\left( {1 - x} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}$
$P = \frac{{2.\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} + \frac{{2{x^2} - 3x + 1}}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} - \left[ { - \frac{{{x^2} + 6x + 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}} \right]$
$ \Leftrightarrow P = \frac{{2{x^2} + 2x + 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} + \frac{{2{x^2} - 3x + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} + \frac{{{x^2} + 6x + 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}$
$ \Leftrightarrow P = \frac{{2{x^2} + 2x + 2 + 2{x^2} - 3x + 1 + {x^2} + 6x + 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \frac{{5{x^2} + 5x + 5}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \frac{5}{{x - 1}}$
b. Với $x \in Z \Leftrightarrow x - 1 \in Z \Rightarrow P \in Z \Leftrightarrow 5 \vdots x - 1$
$x - 1 \in \left\{ { \pm 1, \pm 5} \right\} \Leftrightarrow x \in \left\{ { - 4,0,2,6} \right\}$
Ví dụ 3:
Cho $n \in Z$ . Chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị nguyên.
$A = \frac{{125{n^3}}}{6} + \frac{{25{n^2}}}{2} + \frac{{5n}}{3}$
Hướng dẫn giải
Ta có:
$A = \frac{{125{n^3}}}{6} + \frac{{25{n^2}}}{2} + \frac{{5n}}{3} = \frac{{125{n^3}}}{6} + \frac{{25{n^2}.3}}{{2.3}} + \frac{{5n.2}}{{3.2}} = \frac{{125{n^3}}}{6} + \frac{{75{n^2}}}{6} + \frac{{10n}}{6}$
$ \Leftrightarrow A = \frac{{125{n^3} + 75{n^2} + 10n}}{6} = \frac{{5n\left( {25{n^2} + 15n + 2} \right)}}{6} = \frac{{5n\left( {5n + 1} \right)\left( {5n + 2} \right)}}{6}$
Nhận xét: $5n;5n + 1;5n + 2$ là 3 số nguyên liên tiếp suy ra có 1 số chia hết cho 3 và ít nhất 1 số chia hết cho 2 nên: .
$5n\left( {5n + 1} \right)\left( {5n + 2} \right) \vdots 6 \Leftrightarrow A \in Z$
Ví dụ 4:
Rút gọn các biểu thức sau:
a. $A = \frac{1}{{\left( {x - y} \right)\left( {x - z} \right)}} + \frac{1}{{\left( {y - z} \right)\left( {y - x} \right)}} + \frac{1}{{\left( {z - x} \right)\left( {z - y} \right)}}$
b. $B = \frac{{yz}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x - z} \right)}} + \frac{{zx}}{{\left( {y - z} \right)\left( {y - x} \right)}} + \frac{{xy}}{{\left( {z - x} \right)\left( {z - y} \right)}}$
Hướng dẫn giải
a.
$A = \frac{1}{{\left( {x - y} \right)\left( {x - z} \right)}} + \frac{1}{{\left( {y - z} \right)\left( {y - x} \right)}} + \frac{1}{{\left( {z - x} \right)\left( {z - y} \right)}}$
$ = \frac{{ - 1}}{{\left( {x - y} \right)\left( {z - x} \right)}} + \frac{{ - 1}}{{\left( {y - z} \right)\left( {x - y} \right)}} + \frac{{ - 1}}{{\left( {z - x} \right)\left( {y - z} \right)}} = \frac{{ - 1\left( {y - z} \right) - 1\left( {z - x} \right) - 1\left( {x - y} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}}$
$ = \frac{0}{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}} = 0$
b.
$B = \frac{{yz}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x - z} \right)}} + \frac{{zx}}{{\left( {y - z} \right)\left( {y - x} \right)}} + \frac{{xy}}{{\left( {z - x} \right)\left( {z - y} \right)}}$
$ = \frac{{ - yz}}{{\left( {x - y} \right)\left( {z - x} \right)}} + \frac{{ - zx}}{{\left( {y - z} \right)\left( {x - y} \right)}} + \frac{{ - xy}}{{\left( {z - x} \right)\left( {y - z} \right)}} = \frac{{ - yz\left( {y - z} \right) - zx\left( {z - x} \right) - xy\left( {x - y} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}}$
$ = \frac{{yz\left( {z - y} \right) + xz\left( {x - z} \right) + xy\left( {y - x} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}} = \frac{{y{z^2} - {y^2}z + x{y^2} - {x^2}y + xz\left( {x - z} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}}$
$ = \frac{{y\left( {{z^2} - {x^2}} \right) - {y^2}\left( {z - x} \right) + xz\left( {x - z} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}} = \frac{{\left( {xy + yz - {y^2} - xz} \right)\left( {z - x} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}}$
$ = \frac{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}} = 1$