Chủ đề này có 2 trả lời

[PlanBbyFESN]

Cho $a,b,c>0$ và $a=max\left \{ a;b;c \right \}$.

 

Tìm giá trị nhỏ nhất của :

 

$P=\frac{a}{b}+2\sqrt{1+\frac{b}{c}}+3\sqrt[3]{1+\frac{c}{a}}$

[cristianoronaldo]

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

$P\geq \frac{a}{b}+2\sqrt{2\sqrt{\frac{b}{c}}}+3\sqrt[3]{2\sqrt{\frac{c}{a}}}=\frac{a}{b}+2\sqrt{2}\sqrt[4]{\frac{b}{c}}+3\sqrt[3]{2}\sqrt[6]{\frac{c}{a}}$

    $=\frac{\sqrt{2}}{2}\left ( \frac{a}{b}+4\sqrt[4]{\frac{b}{c}}+6\sqrt[6]{\frac{c}{a}} \right )+\frac{2-\sqrt{2}}{2}.\frac{a}{b}-3\left ( \sqrt{2}-\sqrt[3]{2} \right )\sqrt[6]{\frac{c}{a}}$

    $\geq \frac{\sqrt{2}}{2}.11\sqrt[11]{\frac{a}{b}\left ( \sqrt[4]{\frac{b}{c}}\right )^4\left ( \sqrt[6]{\frac{c}{a}} \right )^6}+1-\frac{\sqrt{2}}{2}-3(\sqrt{2}-\sqrt[3]{2})$

    $=1+2\sqrt{2}+3\sqrt[3]{2}$

$\Rightarrow Q.E.D$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cristianoronaldo: 15-08-2017 - 18:04

[hanguyen445]

Cho $a,b,c>0$ và $a=max\left \{ a;b;c \right \}$.

 

Tìm giá trị nhỏ nhất của :

 

$P=\frac{a}{b}+2\sqrt{1+\frac{b}{c}}+3\sqrt[3]{1+\frac{c}{a}}$

Hình gửi kèm

•