Chủ đề này có 2 trả lời

[Minhnksc]

Cho các số thực dương $a;b;c$ sao cho $abc=1$. Cmr:

$\sum_{cyc} \frac{1}{1+b+c} \leq 1$

[viet9a14124869]

Cho các số thực dương $a;b;c$ sao cho $abc=1$. Cmr:

$\sum_{cyc} \frac{1}{1+b+c} \leq 1$

Bài này có nhiều cách làm , mình sẽ nêu thử một cách :

Đặt $x=a^3,y=b^3,z=c^3\rightarrow abc=1$

Ta chứng minh $A=\sum \frac{1}{1+a^3+b^3}\leq 1$

Đẳng thức theo AM-GM : $\frac{1}{1+a^3+b^3}\leq \frac{1}{1+a^2b+ab^2}=\frac{1}{ab(a+b+c)}=\frac{c}{a+b+c}$

Làm tương tự rồi cộng vế theo vế ta có đpcm ,dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1 .

[Minhnksc]

Bài này có nhiều cách làm , mình sẽ nêu thử một cách :

Đặt $x=a^3,y=b^3,z=c^3\rightarrow abc=1$

Ta chứng minh $A=\sum \frac{1}{1+a^3+b^3}\leq 1$

Đẳng thức theo AM-GM : $\frac{1}{1+a^3+b^3}\leq \frac{1}{1+a^2b+ab^2}=\frac{1}{ab(a+b+c)}=\frac{c}{a+b+c}$

Làm tương tự rồi cộng vế theo vế ta có đpcm ,dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1 .

Mình thì làm kiểu đổi biến như sau 

$a\rightarrow \frac{x^2}{yz}; b\rightarrow \frac{y^2}{xz}; c\rightarrow \frac{z^2}{xy}$

Thay vào bđt cần chứng minh rồi chia cả 2 vế cho $xyz$ ta được bài toán quen thuộc

$\sum \frac{1}{x^3+y^3+xyz}\leq \frac{1}{xyz}$

Tóm lại là về cách đổi biến thì hơi khác với bạn nhưng cả hai cách đều đưa về bài toán trên.