Cho ba số thực $a,b,c > 0$ , CMR:
$\frac{{a{b^2}}}{{{a^3} + {b^3}}} + \frac{{b{c^2}}}{{{b^3} + {c^3}}} + \frac{{c{a^2}}}{{{c^3} + {a^3}}} \le \frac{3}{2}$
Cho ba số thực $a,b,c > 0$ , CMR:
$\frac{{a{b^2}}}{{{a^3} + {b^3}}} + \frac{{b{c^2}}}{{{b^3} + {c^3}}} + \frac{{c{a^2}}}{{{c^3} + {a^3}}} \le \frac{3}{2}$
Với $x,y,z >0$ ta dễ dàng có: $\sum \frac{x^{2}y+xy^{2}}{x^{3}+y^{3}}\leq 3$ suy ra $\sum \frac{xy^{2}}{x^{3}+y^{3}} \leq \frac{3}{2}$ hoặc $\sum \frac{x^{2}y}{x^{3}+y^{3}} \leq \frac{3}{2}$
Đến đây thay các giá trị $x,y,z$ bằng $a,b,c$ tương ứng ta đều có ĐPCM.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi slenderman123: 16-08-2017 - 08:14
Nguyễn Văn Tự Cường - Trường THPT Chuyên LQĐ - Quảng Trị
Với $x,y,z >0$ ta dễ dàng có: $\sum \frac{x^{2}y+xy^{2}}{x^{3}+y^{3}}\leq 3$ suy ra $\sum \frac{xy^{2}}{x^{3}+y^{3}} \leq \frac{3}{2}$ hoặc $\sum \frac{x^{2}y}{x^{3}+y^{3}} \leq \frac{3}{2}$
Đến đây thay các giá trị $x,y,z$ bằng $a,b,c$ tương ứng ta đều có ĐPCM.
Với cách giải của bạn thì xem bài toán này đúng hay sai ?
Với $x,y,z > 0$
Từ bất đẳng thức Chebyshev suy ra:
\[\sum {\frac{{{x^{10}} + {y^{10}}}}{{{x^9} + {y^9}}}} \ge \sum x \Rightarrow \sum {\frac{{{x^{10}}}}{{{x^9} + {y^9}}}} \ge \frac{{\sum x }}{2}\,\,\, \vee \,\,\,\sum {\frac{{{y^{10}}}}{{{x^9} + {y^9}}}} \ge \frac{{\sum x }}{2}\]
Thay x,y,z bằng a,b,c cho tương ứng cho từng trường hợp
Suy ra $\frac{{{a^{10}}}}{{{a^9} + {b^9}}} + \frac{{{b^{10}}}}{{{b^9} + {c^9}}} + \frac{{{c^{10}}}}{{{c^9} + {a^9}}} \ge \frac{{a + b + c}}{2}$ với $a,b,c > 0$ ?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyen kd: 16-08-2017 - 10:57
Với cách giải của bạn thì xem bài toán này đúng hay sai ?
Với $x,y,z > 0$
Từ bất đẳng thức Chebyshev suy ra:
\[\sum {\frac{{{x^{10}} + {y^{10}}}}{{{x^9} + {y^9}}}} \ge \sum x \Rightarrow \sum {\frac{{{x^{10}}}}{{{x^9} + {y^9}}}} \ge \frac{{\sum x }}{2}\,\,\, \vee \,\,\,\sum {\frac{{{y^{10}}}}{{{x^9} + {y^9}}}} \ge \frac{{\sum x }}{2}\]
Thay x,y,z bằng a,b,c cho tương ứng cho từng trường hợp
Suy ra $\frac{{{a^{10}}}}{{{a^9} + {b^9}}} + \frac{{{b^{10}}}}{{{b^9} + {c^9}}} + \frac{{{c^{10}}}}{{{c^9} + {a^9}}} \ge \frac{{a + b + c}}{2}$ với $a,b,c > 0$ ?
Mình mới nghĩ ra cách đó thấy cũng sai sai
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi slenderman123: 16-08-2017 - 11:05
Nguyễn Văn Tự Cường - Trường THPT Chuyên LQĐ - Quảng Trị
Mình mới nghĩ ra cách đó thấy cũng sai sai
Theo mình nghĩ bạn đặt lại ba biến a,b,c có vẻ không tự nhiên.
Theo mình nghĩ bạn đặt lại ba biến a,b,c có vẻ không tự nhiên.
Mà nếu nó không sai thì cứ áp dụng thôi ^^
Nguyễn Văn Tự Cường - Trường THPT Chuyên LQĐ - Quảng Trị
Đề thi chọn đội tuyển HSG:
http://diendantoanho...date-2016-2017/
Topic thảo luận bài toán thầy Hùng:
http://diendantoanho...topicfilter=all
Blog Thầy Trần Quang Hùng
http://analgeomatica.blogspot.com/
Hình học: Nguyễn Văn Linh
https://nguyenvanlin...ss.com/2016/09/
Toán học tuổi trẻ:
http://www.luyenthit...chi-thtt-online
Mathlink:http://artofproblemsolving.com
BẤT ĐẲNG THỨC:
http://diendantoanho...-đẳng-thức-vmf/
http://diendantoanho...i-toán-quốc-tế/
Có một cách đơn giản hớn là chứng minh
\[\sum \frac{x}{x^3+1} \leqslant \frac34 \sum \frac{x+1}{x^2+x+1} \leqslant \frac32.\]
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{19}{20} \leq \sum \frac{1}{1+a+b^2} \leq \frac{27}{20}$Bắt đầu bởi Duc3290, 12-03-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum a^2b + abc +\frac{1}{2}abc(3-\sum ab) \leq 4$Bắt đầu bởi Duc3290, 25-02-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{a_1{}}{({a_1+{a_2+...+a_n{}{}}{}})-{a_1{}}}\geq \frac{n}{n-1}$Bắt đầu bởi Khanh12321, 14-02-2024 bất đẳng thức |
|
|||
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3 \ge 2(a+b+c)$Bắt đầu bởi POQ123, 26-01-2024 bất đẳng thức |
|
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{1}{\sqrt{a^{5}+b^{2}+ab+6}}\leq 1$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 21-01-2024 bất đẳng thức |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh