Chủ đề này có 7 trả lời

[nguyen kd]

Cho ba số thực $a,b,c > 0$ , CMR:

$\frac{{a{b^2}}}{{{a^3} + {b^3}}} + \frac{{b{c^2}}}{{{b^3} + {c^3}}} + \frac{{c{a^2}}}{{{c^3} + {a^3}}} \le \frac{3}{2}$

[slenderman123]

Với $x,y,z >0$ ta dễ dàng có: $\sum \frac{x^{2}y+xy^{2}}{x^{3}+y^{3}}\leq 3$ suy ra $\sum \frac{xy^{2}}{x^{3}+y^{3}} \leq \frac{3}{2}$ hoặc $\sum \frac{x^{2}y}{x^{3}+y^{3}} \leq \frac{3}{2}$

Đến đây thay các giá trị $x,y,z$ bằng $a,b,c$ tương ứng ta đều có ĐPCM.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi slenderman123: 16-08-2017 - 08:14

[nguyen kd]

Với $x,y,z >0$ ta dễ dàng có: $\sum \frac{x^{2}y+xy^{2}}{x^{3}+y^{3}}\leq 3$ suy ra $\sum \frac{xy^{2}}{x^{3}+y^{3}} \leq \frac{3}{2}$ hoặc $\sum \frac{x^{2}y}{x^{3}+y^{3}} \leq \frac{3}{2}$

Đến đây thay các giá trị $x,y,z$ bằng $a,b,c$ tương ứng ta đều có ĐPCM.

Với cách giải của bạn thì xem bài toán này đúng hay sai ?

Với $x,y,z > 0$

Từ bất đẳng thức Chebyshev suy ra:

\[\sum {\frac{{{x^{10}} + {y^{10}}}}{{{x^9} + {y^9}}}}  \ge \sum x  \Rightarrow \sum {\frac{{{x^{10}}}}{{{x^9} + {y^9}}}}  \ge \frac{{\sum x }}{2}\,\,\, \vee \,\,\,\sum {\frac{{{y^{10}}}}{{{x^9} + {y^9}}}}  \ge \frac{{\sum x }}{2}\]

   

Thay x,y,z bằng a,b,c cho tương ứng cho từng trường hợp

Suy ra $\frac{{{a^{10}}}}{{{a^9} + {b^9}}} + \frac{{{b^{10}}}}{{{b^9} + {c^9}}} + \frac{{{c^{10}}}}{{{c^9} + {a^9}}} \ge \frac{{a + b + c}}{2}$  với $a,b,c > 0$ ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyen kd: 16-08-2017 - 10:57

[slenderman123]

Với cách giải của bạn thì xem bài toán này đúng hay sai ?

Với $x,y,z > 0$

Từ bất đẳng thức Chebyshev suy ra:

\[\sum {\frac{{{x^{10}} + {y^{10}}}}{{{x^9} + {y^9}}}}  \ge \sum x  \Rightarrow \sum {\frac{{{x^{10}}}}{{{x^9} + {y^9}}}}  \ge \frac{{\sum x }}{2}\,\,\, \vee \,\,\,\sum {\frac{{{y^{10}}}}{{{x^9} + {y^9}}}}  \ge \frac{{\sum x }}{2}\]

   

Thay x,y,z bằng a,b,c cho tương ứng cho từng trường hợp

Suy ra $\frac{{{a^{10}}}}{{{a^9} + {b^9}}} + \frac{{{b^{10}}}}{{{b^9} + {c^9}}} + \frac{{{c^{10}}}}{{{c^9} + {a^9}}} \ge \frac{{a + b + c}}{2}$  với $a,b,c > 0$ ?

Mình mới nghĩ ra cách đó thấy cũng sai sai  

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi slenderman123: 16-08-2017 - 11:05

[nguyen kd]

Mình mới nghĩ ra cách đó thấy cũng sai sai  

Theo mình nghĩ bạn đặt lại ba biến a,b,c có vẻ không tự nhiên.

[slenderman123]

Theo mình nghĩ bạn đặt lại ba biến a,b,c có vẻ không tự nhiên.

Mà nếu nó không sai thì cứ áp dụng thôi ^^

[hanguyen445]

Biến đổi

Hình gửi kèm

• 

[Nguyenhuyen_AG]

Có một cách đơn giản hớn là chứng minh

\[\sum \frac{x}{x^3+1} \leqslant \frac34 \sum \frac{x+1}{x^2+x+1} \leqslant \frac32.\]