Cho $abc=1$ CMR : $\sum \frac{1}{\sqrt{8a+1}}\geq 1$
$\sum \frac{1}{\sqrt{8a+1}}\geq 1$
#1
Đã gửi 17-08-2017 - 15:11
Nguyễn Văn Tự Cường - Trường THPT Chuyên LQĐ - Quảng Trị
#2
Đã gửi 17-08-2017 - 16:01
Sử dụng phép đổi biến : $(a;b;c) \rightarrow (\frac{yz}{x^2};\frac{zx}{y^2};\frac{xy}{z^2})$
Khi đó ta có: $\sum \frac{1}{\sqrt{8a+1}}=\sum\frac{x}{\sqrt{x^2+8yz}}$
Vậy cần chứng minh bất đẳng thức sau (quen thuộc) :$\sum\frac{x}{\sqrt{x^2+8yz}} \geq 1$
Chứng minh bất đẳng thức này có nhiều cách,sau đây là một trong những cách đó mà mình được học.
Chuẩn hóa :$x+y+z=1$
Sử dụng $AM-GM$ ta có: $\frac{x}{\sqrt{x^2+8yz}}+\frac{x}{\sqrt{x^2+8yz}}+x(x^2+8yz) \geq 3x$
Đánh giá tương tự ta được:$2\sum\frac{x}{\sqrt{x^2+8yz}} +x^3+y^3+z^3+24xyz \geq 3(x+y+z)=3$
Vậy chỉ cần chỉ ra :$x^3+y^3+z^3+24xyz \leq 1$.Điều này hiển nhiên bởi:
$x^3+y^3+z^3+24xyz \leq x^3+y^3+z^3+ 3(x+y)(y+z)(z+x)=(x+y+z)^3=1$
Vậy bất đẳng thức chứng minh xong.
- sharker, M4st3r of P4nstu, minhducndc và 1 người khác yêu thích
Chỉ có hai điều là vô hạn: vũ trụ và sự ngu xuẩn của con người, và tôi không chắc lắm về điều đầu tiên.
Only two things are infinite, the universe and human stupidity, and I'm not sure about the former.
#3
Đã gửi 17-08-2017 - 21:23
#4
Đã gửi 17-08-2017 - 21:25
BĐT 18
BĐT 18 là sao
Sự khác biệt giữa thiên tài và kẻ ngu dốt là ở chỗ thiên tài luôn có giới hạn.
#5
Đã gửi 17-08-2017 - 21:27
S
BĐT 18 là sao
BĐT thứ 18 giải được bạn.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hanguyen445: 17-08-2017 - 21:28
#6
Đã gửi 18-08-2017 - 10:46
Cho $abc=1$ CMR : $\sum \frac{1}{\sqrt{8a+1}}\geq 1$
Mình làm theo phản chứng như sau:
Đặt: $x=\dfrac{1}{\sqrt{8a+1}};y=\dfrac{1}{\sqrt{8b+1}};z=\dfrac{1}{\sqrt{8c+1}}\Rightarrow x,y,z>0$
Từ đó, rút: $a=\dfrac{1-x^2}{8x^2};b=\dfrac{1-y^2}{8y^2};a=\dfrac{1-z^2}{8z^2}\\\Rightarrow 8^3x^2y^2z^2=(1-x^2)(1-y^2)(1-z^2)$
Ta cần chứng minh: $x+y+z \geqslant 1$
Giả sử ngược lại: $x+y+z < 1$
Khi đó: $1-x^2>(x+y+z)^2-x^2=(y+z)((x+y)+(z+x))\\\geqslant^{AM-GM} 2(y+z)\sqrt{(x+y)(y+z)}>0$
Tương tự: $1-y^2\geqslant^{AM-GM}2(x+z)\sqrt{(x+y)(y+z)}>0\\ 1-z^2\geqslant^{AM-GM}2(x+y)\sqrt{(x+z)(y+z)}>0$
Nhân vế với vế 3 BĐT trên:
$8^3x^2y^2z^2=(1-x^2)(1-y^2)(1-z^2)>8(x+y)^2(y+z)^2(z+x)^2\\\Rightarrow 8xyz>(x+y)(y+z)(z+x)$
BĐT cuối mâu thuẫn
Vậy ta có điều phải chứng minh
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangKhanh2002: 18-08-2017 - 10:47
- MoMo123 và slenderman123 thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức, abc=1
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{19}{20} \leq \sum \frac{1}{1+a+b^2} \leq \frac{27}{20}$Bắt đầu bởi Duc3290, 12-03-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum a^2b + abc +\frac{1}{2}abc(3-\sum ab) \leq 4$Bắt đầu bởi Duc3290, 25-02-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{a_1{}}{({a_1+{a_2+...+a_n{}{}}{}})-{a_1{}}}\geq \frac{n}{n-1}$Bắt đầu bởi Khanh12321, 14-02-2024 bất đẳng thức |
|
|||
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3 \ge 2(a+b+c)$Bắt đầu bởi POQ123, 26-01-2024 bất đẳng thức |
|
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{1}{\sqrt{a^{5}+b^{2}+ab+6}}\leq 1$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 21-01-2024 bất đẳng thức |
|
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh