Chủ đề này có 5 trả lời

[slenderman123]

Cho $abc=1$ CMR : $\sum \frac{1}{\sqrt{8a+1}}\geq 1$

[duylax2412]

Sử dụng phép đổi biến : $(a;b;c) \rightarrow (\frac{yz}{x^2};\frac{zx}{y^2};\frac{xy}{z^2})$

Khi đó ta có: $\sum \frac{1}{\sqrt{8a+1}}=\sum\frac{x}{\sqrt{x^2+8yz}}$

Vậy cần chứng minh bất đẳng thức sau  (quen thuộc) :$\sum\frac{x}{\sqrt{x^2+8yz}} \geq 1$

Chứng minh bất đẳng thức này có nhiều cách,sau đây là một trong những cách đó mà mình được học.

Chuẩn hóa :$x+y+z=1$

Sử dụng $AM-GM$ ta có: $\frac{x}{\sqrt{x^2+8yz}}+\frac{x}{\sqrt{x^2+8yz}}+x(x^2+8yz) \geq 3x$

Đánh giá tương tự ta được:$2\sum\frac{x}{\sqrt{x^2+8yz}} +x^3+y^3+z^3+24xyz \geq 3(x+y+z)=3$

Vậy chỉ cần chỉ ra :$x^3+y^3+z^3+24xyz  \leq 1$.Điều này hiển nhiên bởi:

$x^3+y^3+z^3+24xyz \leq x^3+y^3+z^3+ 3(x+y)(y+z)(z+x)=(x+y+z)^3=1$

Vậy bất đẳng thức chứng minh xong.

[hanguyen445]

Cho $abc=1$ CMR : $\sum \frac{1}{\sqrt{8a+1}}\geq 1$

BĐT 18

Hình gửi kèm

• 

[Duy Thai2002]

BĐT 18

BĐT 18 là sao

[hanguyen445]

S

 

BĐT 18 là sao

BĐT thứ 18 giải được bạn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hanguyen445: 17-08-2017 - 21:28

[HoangKhanh2002]

Cho $abc=1$ CMR : $\sum \frac{1}{\sqrt{8a+1}}\geq 1$

Mình làm theo phản chứng như sau:

Đặt: $x=\dfrac{1}{\sqrt{8a+1}};y=\dfrac{1}{\sqrt{8b+1}};z=\dfrac{1}{\sqrt{8c+1}}\Rightarrow x,y,z>0$

Từ đó, rút: $a=\dfrac{1-x^2}{8x^2};b=\dfrac{1-y^2}{8y^2};a=\dfrac{1-z^2}{8z^2}\\\Rightarrow 8^3x^2y^2z^2=(1-x^2)(1-y^2)(1-z^2)$

Ta cần chứng minh: $x+y+z \geqslant 1$

Giả sử ngược lại: $x+y+z < 1$

Khi đó: $1-x^2>(x+y+z)^2-x^2=(y+z)((x+y)+(z+x))\\\geqslant^{AM-GM} 2(y+z)\sqrt{(x+y)(y+z)}>0$

Tương tự: $1-y^2\geqslant^{AM-GM}2(x+z)\sqrt{(x+y)(y+z)}>0\\ 1-z^2\geqslant^{AM-GM}2(x+y)\sqrt{(x+z)(y+z)}>0$

Nhân vế với vế 3 BĐT trên:

$8^3x^2y^2z^2=(1-x^2)(1-y^2)(1-z^2)>8(x+y)^2(y+z)^2(z+x)^2\\\Rightarrow 8xyz>(x+y)(y+z)(z+x)$

BĐT cuối mâu thuẫn

Vậy ta có điều phải chứng minh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangKhanh2002: 18-08-2017 - 10:47