Chủ đề này có 3 trả lời

[Duy Thai2002]

Cho x,y,z>0 thỏa mãn 4(x+y+z)=3xyz.Tìm GTLN: P= $\sum \frac{1}{2+x+yz}$

                                                                                      (Nguồn: Đề đề xuất Trại hè Hùng Vương)

[Duy Thai2002]

Không biết nữa bạn. Thấy đề không để.

[hanguyen445]

Cauchy-schwarz

Hình gửi kèm

• 

[Duy Thai2002]

Cách của mình cho bài này:

Từ gt => $\frac{9}{16}=\frac{(x+y+z)^{2}}{x^{2}y^{2}z^{2}}\geq \frac{3(xy+yz+zx).27}{(xy+yz+zx)^{3}}=\frac{81}{(xy+yz+zx)^{2}}$

=> $(xy+yz+zx)^{2}\geq \frac{16.81}{9}=144$

=> $xy+yz+zx\geq 12$( Do x,y,z>0)

Mặt khác,

từ gt => $\sum \frac{1}{xy}=\frac{3}{4}$ 

Ta có bổ đề sau: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}$

=> $P\leq \frac{1}{4}(\frac{1}{2+x}+\frac{1}{2+y}+\frac{1}{2+z}+\sum \frac{1}{xy})=\frac{1}{4}(\frac{\sum (2+x)(2+y)}{(2+x)(2+y)(2+z)}+\frac{3}{4})=\frac{1}{4}(\frac{3}{4}+\frac{3}{4}-\frac{2(xy+yz+zx)-24}{(2+x)(2+y)(2+z)})\leq \frac{1}{4}(\frac{3}{2}-\frac{2.12-24}{(2+x)(2+y)(2+z)})=\frac{1}{4}.\frac{3}{2}=\frac{3}{8}$

=> $P\leq \frac{3}{8}$.ĐTXR <=> x=y=z=2