ĐK: $\left\{\begin{matrix}x \neq 0 & & & \\x \neq \frac{-1}{3} & & & \\ x \neq \frac{1}{2} & & & \\ x \neq -1 & & & \end{matrix}\right.$
Trường hợp cả hai vế pt bằng 0
Dễ dàng tìm được: $x=\frac{-1}{4}$ (nhận)
Trường hợp cả hai vế pt khác 0
Do x $x \epsilon \mathbb{R}$ nên $x\epsilon (-\infty;0 )$ hoặc $x\epsilon (0;+\infty )$ (loại $x=0$ theo đk)
Xét TH $x\epsilon (0;+\infty )$
Nếu $x>1$ hay $x\epsilon (1;+\infty )$ thì:
$\frac{1}{\sqrt[3]{3x+1}}=\frac{1}{\sqrt[3]{2x-1}}+\frac{1}{\sqrt[3]{2x+2}}-\frac{1}{\sqrt[3]{x}}< \frac{1}{\sqrt[3]{2x+2}}+\frac{1}{\sqrt[3]{x}}-\frac{1}{\sqrt[3]{x}}=\frac{1}{\sqrt[3]{2x+2}}$(1)
$\frac{1}{\sqrt[3]{2x+2}}=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}+\frac{1}{\sqrt[3]{3x+1}}-\frac{1}{\sqrt[3]{2x-1}}> \frac{1}{\sqrt[3]{x}}+\frac{1}{\sqrt[3]{3x+1}}-\frac{1}{\sqrt[3]{x}}=\frac{1}{\sqrt[3]{3x+1}}$(2)
Từ (1) và (2) => vô lí
Nếu $x< 1$ hay $x\epsilon (0;1)$ thì:
$\frac{1}{\sqrt[3]{x}}< \frac{1}{\sqrt[3]{2x-1}}$(3)
$\frac{1}{\sqrt[3]{x}}=\frac{1}{\sqrt[3]{2x-1+1-x}}< \frac{1}{\sqrt[3]{2x-1+1-1}}=\frac{1}{\sqrt[3]{2x-1}}$(4)
Từ (3) và (4)=> vô lý
=> x=1 Thử lại ta nhận x=1
Xét TH $x\epsilon (-\infty ;0)$
Ta cũng chia ra 2 TH là $x\epsilon (-\infty;-2 )$ hoặc $x\epsilon (-2;0)$ thì ta cũng cm tương tự như trên dẫn tới x=-2. Thử lại, ta nhận x=-2
Vậy $S={-2;\frac{-1}{4};1}$