2 replies to this topic

[Olympusreacher]

Trong một tam giác đều có cạnh bằng $1$ chứa $5$ điểm bất kì. Cmr có thể tìm được $2$ điểm mà khoảng cách giữa chúng bé hơn hoặc bằng $\frac{1}{2}$.

[slenderman123]

.Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của $AB,BC,CA$ suy ra $\Delta AMP =\Delta BNM=\Delta CPN=\Delta MPN$(là các tam giác nhỏ có diện tích bằng $\frac{1}{4}S_{ABC})$

Theo nguyên lý $Diriclet$ thì luôn tồn tại ít nhất $2$ điểm trong một tam giác nhỏ, không mất tính tổng quát, giả sử tam giác đó là $\Delta AMP$.

Gọi $2$ điểm đó là $P,Q$ thì ta luôn có $PQ\leq AM=MP=PA=1$ (đpcm)

P/S: Giống câu $Diriclet$ đề thi tỉnh Quảng Trị 2016-2017

Attached Files

•  sl12.png   107.03KB   0 downloads

Edited by slenderman123, 18-08-2017 - 15:12.

[Duy Thai2002]

Dùng nguyên lí Dirichlet

Chia tam giác đều thành 4 tam giác đều, mỗi tam giác diện tích là: $\frac{(\frac{1}{2})^{2}.\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{16}$

Chia 5 điểm vào 4 tam giác thì tồn tại 2 điểm nằm trong 1 tam giác.

=> Khoảng cách của chúng $<\frac{\sqrt{3}}{16}< \frac{1}{2}$

=> Đpcm.