Chứng minh không phải kg hilbert
#1
Đã gửi 19-08-2017 - 21:52
#2
Đã gửi 19-08-2017 - 22:08
Bạn nào giúp mình câu 2 với. Tìm một dãy cauchy chứng minh không hội tụ
#3
Đã gửi 20-08-2017 - 05:53
Xét dãy hàm $\left\{ {{f_n}} \right\}_{n = 1}^{ + \infty }$ xác định bởi
- Trên $\left[ {0,\frac{1}{2} - \frac{1}{n}} \right]$ thì ${f_n}\left( x \right) = 1$.
- Trên $\left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{n},\frac{1}{2}} \right]$ thì $f_n$ là hàm bậc nhất nối hai điểm $\left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{n},1} \right) \leftrightarrow \left( {\frac{1}{2},0} \right)$.
- Trên $\left( {\frac{1}{2},1} \right]$ ${f_n}\left( x \right) = 0$
Dãy hàm $\left\{ {{f_n}} \right\}_{n = 1}^{ + \infty }$ xác định như trên là dãy Cauchy nhưng không hội tụ trong không gian đã cho,.
Cần lắm một bờ vai nương tựa
#4
Đã gửi 20-08-2017 - 16:41
#5
Đã gửi 21-08-2017 - 10:24
Bạn có thể chứng minh rõ nó là dãy cauchy nhưng không hội tụ được không. Cám ơn
Lần sau bạn đừng spam nữa nhé!
Gợi ý: Khoảng cách ở trong không gian đang xét là
$$\left\| f-g \right\| = \left(\int_{0}^{1} |f(x)-g(x)|^2 dx \right)^{1/2}.$$
Thế nên với dãy hàm như trên, nhờ việc $f_m(x) = f_n(x)$ với mọi $x \in \left( \dfrac{1}{2} -\dfrac{1}{n}, \dfrac{1}{2}\right)\cup \left(\dfrac{1}{2}, 1\right]$ (giả sử $n<m$) và trong khoảng $\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{n}, \dfrac{1}{2} \right)$, giá trị tuyệt đối của hiệu của chúng bị chặn bởi 1 nên có thể đánh giá $\left\| f_m-f_n \right\|< \dfrac{1}{2^{\text{n gì đó}}}$ rồi suy ra dãy Cauchy.
Với việc chứng minh dãy không hội tụ, giả sử phản chứng dãy hội tụ đến $f\in C[0,1]$, ta chứng minh được $f(x) = 0$ nếu $x>1/2$, và $=1$ nếu $x<1/2$, suy ra $f\not \in C[0,1]$. Điều giả sử là sai nên dãy này là một dãy Cauchy không hội tụ.
---
Câu hỏi: Vậy tóm lại $C[0,1]$ là đủ với những chuẩn nào và không đủ với những chuẩn nào nhỉ?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 21-08-2017 - 10:32
- MoMo123 yêu thích
#6
Đã gửi 21-08-2017 - 19:20
Xin lỗi bạn Chuon4989. Cái ví dụ của mình nó tính toán với chuẩn tích phân bậc 1 nó dễ dàng hơn so với chuẩn bạn đưa ra. Tuy nhiên, sau khi trả lời câu hỏi của bạn Tư Mã Trọng Đạt thì ta có kết quả mạnh hơn.
Trên ${C^0}\left( {\left[ {a,b} \right];\mathbb{R}} \right)$ các chuẩn thông thường có chuẩn $\sup$ và chuẩn tích phân bậc $p$ với $p \geq 1$. Chỉ có chuẩn $\sup$ là đầy đủ. Các chuẩn tích phân bậc $p$ là không đầy đủ. Thật vậy, vì $j:\left( {{C^0}\left( {\left[ {a,b} \right];\mathbb{R}} \right),{{\left\| \cdot \right\|}_p}} \right) \to \left( {{C^0}\left( {\left[ {a,b} \right];\mathbb{R}} \right),{{\left\| \cdot \right\|}_1}} \right)$ là phép nhúng liên tục. Nên nếu $\left( {{C^0}\left( {\left[ {a,b} \right];\mathbb{R}} \right),{{\left\| \cdot \right\|}_p}} \right)$ là không gian Banach thì $\left( {{C^0}\left( {\left[ {a,b} \right];\mathbb{R}} \right),{{\left\| \cdot \right\|}_1}} \right)$ cũng là không gian Banach. Mà theo như trên thì $\left( {{C^0}\left( {\left[ {a,b} \right];\mathbb{R}} \right),{{\left\| \cdot \right\|}_1}} \right)$ không là không gian Banach nên ta có đpcm.
Chuẩn sinh bởi tích vô hướng mà bạn đưa ra là chuẩn tích phân bậc $2$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthkhnimqt: 21-08-2017 - 19:32
- WhjteShadow yêu thích
Cần lắm một bờ vai nương tựa
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh