Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Chứng minh $(a^2 +2)(b^2+2)(c^2+2) \ge 3(a+b+c)^2$

bất đẳng thức

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1 dat102

dat102

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 150 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Biên Hòa, Đồng Nai
  • Sở thích:Toán, Bóng đá và ... :)

Đã gửi 20-08-2017 - 10:56

Cho $a,b,c >0$. Chứng minh:

$(a^2 +2)(b^2+2)(c^2+2) \ge 3(a+b+c)^2$


:ukliam2:  $\sqrt{MF}$  :ukliam2: 


#2 MoMo123

MoMo123

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 335 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 20-08-2017 - 11:13

Cho $a,b,c >0$. Chứng minh:

$(a^2 +2)(b^2+2)(c^2+2) \ge 3(a+b+c)^2$

Mình có cách này không biết có được không

$(a^{2}+2)(b^{2}+2)=(a^{2}+1)(1+b^{2})+a^{2}+b^{2}+3\geq (a+b)^{2}+\frac{(a+b)^{2}}{2}+3=\frac{3}{2}[(a+b)^{2}+2)$

$-> VT \geq \frac{3}{2}((a+b)^{2}.c^{2}+4+2(a+b)^{2}+2c^{2})\geq \frac{3}{2}[4(a+b)c+2(a+b)^{2}+2c^{2})]=VP$

P/s: Đây chính là dạng biến đổi của câu bđt trong đề thi PBC năm ngoái


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 20-08-2017 - 22:23


#3 hanguyen445

hanguyen445

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 233 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 20-08-2017 - 11:18

Dung Bunhia

Hình gửi kèm

  • BDT 23.JPG

Đề thi chọn đội tuyển  HSG:

http://diendantoanho...date-2016-2017/

Topic thảo luận bài toán thầy Hùng:

http://diendantoanho...topicfilter=all

Blog Thầy Trần Quang Hùng

http://analgeomatica.blogspot.com/

Hình học: Nguyễn Văn Linh

https://nguyenvanlin...ss.com/2016/09/

Toán học tuổi trẻ:

http://www.luyenthit...chi-thtt-online

Mathlink:http://artofproblemsolving.com

BẤT ĐẲNG THỨC:

http://diendantoanho...-đẳng-thức-vmf/

http://diendantoanho...i-toán-quốc-tế/

 


#4 hanguyen445

hanguyen445

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 233 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 20-08-2017 - 11:49

Dung bien doi luon dung:

Hình gửi kèm

  • BDT24.JPG

Đề thi chọn đội tuyển  HSG:

http://diendantoanho...date-2016-2017/

Topic thảo luận bài toán thầy Hùng:

http://diendantoanho...topicfilter=all

Blog Thầy Trần Quang Hùng

http://analgeomatica.blogspot.com/

Hình học: Nguyễn Văn Linh

https://nguyenvanlin...ss.com/2016/09/

Toán học tuổi trẻ:

http://www.luyenthit...chi-thtt-online

Mathlink:http://artofproblemsolving.com

BẤT ĐẲNG THỨC:

http://diendantoanho...-đẳng-thức-vmf/

http://diendantoanho...i-toán-quốc-tế/

 


#5 duylax2412

duylax2412

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 191 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thái dương hệ
  • Sở thích:số học & piano

Đã gửi 20-08-2017 - 12:58

Thêm lời giải khác nữa:

Sử dung $Cauchy-Shwarz$ thì ta có:

$3(a+b+c)^2=3(a+\sqrt{2}.\frac{b+c}{\sqrt{2}})^2 \leq 3(a^2+2)(1+\frac{(b+c)^2}{2})$

Vậy ta đi chứng minh:$3[1+\frac{(b+c)^2}{2}]\leq (b^2+2)(c^2+2) \Leftrightarrow 6+3(b+c)^2 \leq 2b^2c^2 +4(b^2+c^2)+8$

$\Leftrightarrow 2(bc-1)^2 +(b-c)^2 \geq 0$ (đúng)

Bài toán tương tự:

Chứng minh $(a^2+3)(b^2+3)(c^2+3) \geq  4(a+b+c+1)^2$

Chứng minh $(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1) \geq \frac{5}{16}(a+b+c+1)^2$


Chỉ có hai điều là vô hạn: vũ trụ và sự ngu xuẩn của con người, và tôi không chắc lắm về điều đầu tiên.

Only two things are infinite, the universe and human stupidity, and I'm not sure about the former.

ALBERT EINSTEIN

 

 


#6 Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 20-08-2017 - 20:59

Cho $a,b,c >0$. Chứng minh:

$(a^2 +2)(b^2+2)(c^2+2) \ge 3(a+b+c)^2$

 

Ta có

\[\text{Vế trái  -  Vế phải} = \frac{\displaystyle 3\sum (c^2+5)(ab-1)^2 + \sum (a+b-2c)^2 + 3\left(\sum ab -3\right)^2}{9}.\]


Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#7 tay du ki

tay du ki

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 205 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 21-08-2017 - 21:46

Ta có

\[\text{Vế trái  -  Vế phải} = \frac{\displaystyle 3\sum (c^2+5)(ab-1)^2 + \sum (a+b-2c)^2 + 3\left(\sum ab -3\right)^2}{9}.\]

Anh ơi cho em hỏi là anh dùng kĩ thuật gì để ra cái này ạ


      :ukliam2: Cố gắng trở thành nhà toán học vĩ đại nhất thế giới :ukliam2:  

 

 

#8 Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 21-08-2017 - 23:47

Anh ơi cho em hỏi là anh dùng kĩ thuật gì để ra cái này ạ

 

Anh dùng hệ số bất định.


Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#9 tthnew

tthnew

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 159 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 04-01-2020 - 07:17

Em dùng tam thức bậc $2$ và có kết quả thế này, không biết có được không?

$VT-VP=\frac{[a(b^2 +2)(c^2 +2)-3(a+b+c)]^2 +(b^2 +2)(c^2 +2)[2(bc-1)^2 +(b-c)^2]}{(b^2 +2)(c^2 +2)-3} \geqslant 0$

Ta có $qed$.







1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh