Đến nội dung

Hình ảnh

$f(\frac{f(x)}{y})=yf(y)f(f(x))$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
dungxibo123

dungxibo123

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 330 Bài viết

Tìm $f: (0;+\infty ) \rightarrow (0;+\infty )$ thỏa $f(\frac{f(x)}{y})=yf(y)f(f(x)).$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 02-11-2017 - 01:46

myfb : www.facebook.com/votiendung.0805
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~o0o~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
SỢ HÃI giúp ta tồn tại

NGHỊ LỰC giúp ta đứng vững

KHÁT VỌNG giúp ta tiến về phía trước

Võ Tiến Dũng  

:like  :like  :like  :like  :like 

 

 


#2
manhtuan00

manhtuan00

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 108 Bài viết

Thay $y$ bởi $\sqrt{f(x)}$ ta có $f(f(x)) = \frac{1}{\sqrt{f(x)}}$ nên $f(\frac{f(x)}{y})= \frac{yf(y)}{\sqrt{f(x)}}$

Từ điều trên suy ra $\frac{f(x)}{f(y)}$ nhận mọi giá trị trên $\mathbb R^{+}$ . Thế $y$ bởi $f(y)$ ta nhận được $f(\frac{f(x)}{f(y}) = \frac{1}{\sqrt{\frac{f(x)}{f(y)}}}$ nên $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ với mọi $x$



#3
contau

contau

    Lính mới

  • Thành viên
  • 5 Bài viết

Với $x=y=1,f(f(1))=f(1)f(f1))$ nên $f(1)=1.$

Cho $y = f(x),f(1)=f(x)f(f(x))f(f(x))$ nên $f(f(x))=\frac{1}{\sqrt{f(x)}}.$

Cho $x=1,$ thay $y$ bởi $x,f(\frac{1}{x})=xf(x).$

Do vậy $f(f(\frac{1}{x}))=\frac{1}{\sqrt{f(1/x)}}=\frac{1}{\sqrt{xf(x)}}=\frac{1}{\sqrt{x}}.\frac{1}{\sqrt{f(x)}}.$

Thay $y$ bởi $xf(x)$ ta được $f(\frac{1}{x})= xf(x)f(xf(x)).f(f(x))=xf(x).$   

Do đó $f(xf(x))=f(f(\frac{1}{x}))=\frac{1}{f(f(x))}=\sqrt{f(x)}.$

Nên $\frac{1}{\sqrt{x}}.\frac{1}{\sqrt{f(x)}}=\sqrt{f(x)}.$

Vậy $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 02-11-2017 - 01:45





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh