Tìm $f: (0;+\infty ) \rightarrow (0;+\infty )$ thỏa $f(\frac{f(x)}{y})=yf(y)f(f(x)).$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 02-11-2017 - 01:46
Tìm $f: (0;+\infty ) \rightarrow (0;+\infty )$ thỏa $f(\frac{f(x)}{y})=yf(y)f(f(x)).$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 02-11-2017 - 01:46
myfb : www.facebook.com/votiendung.0805
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~o0o~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
SỢ HÃI giúp ta tồn tại
NGHỊ LỰC giúp ta đứng vững
KHÁT VỌNG giúp ta tiến về phía trước
Võ Tiến Dũng
Thay $y$ bởi $\sqrt{f(x)}$ ta có $f(f(x)) = \frac{1}{\sqrt{f(x)}}$ nên $f(\frac{f(x)}{y})= \frac{yf(y)}{\sqrt{f(x)}}$
Từ điều trên suy ra $\frac{f(x)}{f(y)}$ nhận mọi giá trị trên $\mathbb R^{+}$ . Thế $y$ bởi $f(y)$ ta nhận được $f(\frac{f(x)}{f(y}) = \frac{1}{\sqrt{\frac{f(x)}{f(y)}}}$ nên $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ với mọi $x$
Với $x=y=1,f(f(1))=f(1)f(f1))$ nên $f(1)=1.$
Cho $y = f(x),f(1)=f(x)f(f(x))f(f(x))$ nên $f(f(x))=\frac{1}{\sqrt{f(x)}}.$
Cho $x=1,$ thay $y$ bởi $x,f(\frac{1}{x})=xf(x).$
Do vậy $f(f(\frac{1}{x}))=\frac{1}{\sqrt{f(1/x)}}=\frac{1}{\sqrt{xf(x)}}=\frac{1}{\sqrt{x}}.\frac{1}{\sqrt{f(x)}}.$
Thay $y$ bởi $xf(x)$ ta được $f(\frac{1}{x})= xf(x)f(xf(x)).f(f(x))=xf(x).$
Do đó $f(xf(x))=f(f(\frac{1}{x}))=\frac{1}{f(f(x))}=\sqrt{f(x)}.$
Nên $\frac{1}{\sqrt{x}}.\frac{1}{\sqrt{f(x)}}=\sqrt{f(x)}.$
Vậy $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 02-11-2017 - 01:45
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh