Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[5]{\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 12 trả lời

#1 Duy Thai2002

Duy Thai2002

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 433 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm,Vĩnh Long

Đã gửi 21-08-2017 - 16:06

Cho a,b,c>0 thỏa abc=1.CMR: $\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[5]{\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}}$


Sự khác biệt giữa thiên tài và kẻ ngu dốt là ở chỗ thiên tài luôn có giới hạn.


#2 minhducndc

minhducndc

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 158 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thái Bình
  • Sở thích:chưa tìm thấy

Đã gửi 21-08-2017 - 19:47

ta có bất đẳng thức cần cm tương đương với

(a+b+c)5/243>=(a2+b2+c2)/3

có (ab+bc+ca)2>=3(a+b+c)abc nên ab+bc+ca>=√(3(a+b+c))  (vì abc=1)

có a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)<=(a+b+c)2-2√(3(a+b+c))

ta cần chứng minh (a+b+c)5>=81(a+b+c)2-2.81√3(a+b+c)

đặt √3(a+b+c)=m ta cần chứng minh

x10/39+2x>=x4/9

áp dụng AM-GM cho 3 số ta có

x10/39+x+x>=x4/9

domình ko viết đc  Latex


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhducndc: 21-08-2017 - 19:53

Đặng Minh Đức CTBer


#3 Duy Thai2002

Duy Thai2002

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 433 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm,Vĩnh Long

Đã gửi 21-08-2017 - 19:53

Bạn có thể đánh Latex được không.Mình nhìn mà không hiểu.


Sự khác biệt giữa thiên tài và kẻ ngu dốt là ở chỗ thiên tài luôn có giới hạn.


#4 minhducndc

minhducndc

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 158 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thái Bình
  • Sở thích:chưa tìm thấy

Đã gửi 21-08-2017 - 19:58

hình như latex bị lỗi m đánh ko đc


Đặng Minh Đức CTBer


#5 minhducndc

minhducndc

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 158 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thái Bình
  • Sở thích:chưa tìm thấy

Đã gửi 21-08-2017 - 20:22

*

Hình gửi kèm

  • 21037956_597971590373264_1782372595_o.jpg

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhducndc: 21-08-2017 - 20:29

Đặng Minh Đức CTBer


#6 slenderman123

slenderman123

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 175 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Trị Provine
  • Sở thích:Giải toán dạo :)

Đã gửi 21-08-2017 - 20:53

BĐT cần CM tương đương:$ \frac{(a+b+c)^{5}}{243}\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{3}$ với $abc=1$

$abc=1\Rightarrow 3abc(a+b+c)\leq (ab+bc+ca)^{2}\Rightarrow ab+bc+ca\geq \sqrt{3(a+b+c)}$

$a^{2}+b^{2}+c^{2}=(a+b+c)^{2}-2(ab+bc+ca)\leq (a+b+c)^{2}-2\sqrt{3(a+b+c)}$

Giờ cần chứng minh bất đẳng thức sau: $\frac{(a+b+c)^{5}}{81}\geq (a+b+c)^{2}-2\sqrt{3(a+b+c)}$ với $a+b+c \geq 3$

Đặt $t=a+b+c \geq 3$ thì ta có: $t^{5}-81t^{2}+162\sqrt{3t}\geq 0$

Áp dụng BĐT $Cauchy$ $t^{5}+81\sqrt{3t}+81\sqrt{3t}\geq 81t^{2}$(đpcm)

P/S:Mấy bác nhanh quá, đang coi Em của anh, đừng của ai thì có bạn giành rồi  :)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi slenderman123: 21-08-2017 - 20:55

Nguyễn Văn Tự Cường - Trường THPT Chuyên LQĐ - Quảng Trị


#7 Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 22-08-2017 - 00:02

Cho a,b,c>0 thỏa abc=1.CMR: $\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[5]{\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}}$

 

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

\[f=(a+b+c)^5 - 81(a^2+b^2+c^2) \geqslant 0.\]

Ta có

\[f = \frac12 \sum (a^3+b^3+21c^3+2a^2b+2ab^2)(a-b)^2+5\sum c(a-b)^4 \geqslant 0.\]


Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#8 Duy Thai2002

Duy Thai2002

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 433 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm,Vĩnh Long

Đã gửi 22-08-2017 - 05:40

Anh làm kĩ thuật gì mà có thể phân tích ra như vậy.


Sự khác biệt giữa thiên tài và kẻ ngu dốt là ở chỗ thiên tài luôn có giới hạn.


#9 hanguyen445

hanguyen445

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 233 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 22-08-2017 - 17:54

Cho a,b,c>0 thỏa abc=1.CMR: $\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[5]{\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}}$

CCH

Hình gửi kèm

  • BDT 28.JPG

Đề thi chọn đội tuyển  HSG:

http://diendantoanho...date-2016-2017/

Topic thảo luận bài toán thầy Hùng:

http://diendantoanho...topicfilter=all

Blog Thầy Trần Quang Hùng

http://analgeomatica.blogspot.com/

Hình học: Nguyễn Văn Linh

https://nguyenvanlin...ss.com/2016/09/

Toán học tuổi trẻ:

http://www.luyenthit...chi-thtt-online

Mathlink:http://artofproblemsolving.com

BẤT ĐẲNG THỨC:

http://diendantoanho...-đẳng-thức-vmf/

http://diendantoanho...i-toán-quốc-tế/

 


#10 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1756 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trung học PT * NGT . *Bắp Nhà Chùa* ; Phú Yên.

Đã gửi 02-01-2018 - 11:31

Cho a,b,c>0 thỏa abc=1.CMR: $\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[5]{\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}}$

Thật ra bài này còn cách khác nữa:

$\frac{a+ b+ c}{3}\geq \sqrt[5]{\frac{a^{2}+ b^{2}+ c^{2}}{3}}$

Bây giờ việc chúng ta cần làm là xử lí nhân tử abc theo a+ b+ c

Sử dụng một bất đẳng thức khác:

$\left ( ab+ bc+ ca \right )^{2}\geq 3abc\left ( a+ b+ c \right ),$

CM tương đương:

$a^{2}\left ( b- c \right )^{2}+ b^{2}\left ( c- a \right )^{2}+ c^{2}\left ( a- b \right )^{2}\geq 0$

Ta cần chứng minh bđt lớn hơn:

$\left ( a+ b+ c \right )^{6}\geq 27\left ( ab+ bc+ ca \right )^{2}\left ( a^{2} + b^{2}+ c^{2}\right )$

Đặt S= a+ b+ c, Q= ab+ bc+ ca, ta được:

$\left ( a+ b+ c \right )^{6}- 27\left ( ab+ bc+ ca \right )^{2}\left ( a^{2}+ b^{2}+ c^{2} \right ) = S^{6}- 27Q^{2}\left ( S^{2} -2Q\right ) = \left ( S^{2} - 3Q^{2}\right )^{2}\left ( S^{2}+ 6Q \right )\geq 0$

Bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= b= c= 1


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 02-01-2018 - 11:54

20:46, 22/12/2019

 
 
In how many ways can a laser beam enter at vertex, bounce off n surfaces, then exit through the same vertex?

 


#11 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1756 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trung học PT * NGT . *Bắp Nhà Chùa* ; Phú Yên.

Đã gửi 03-01-2018 - 13:15

Cho a,b,c>0 thỏa abc=1.CMR: $\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[5]{\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}}$

 

Còn cách chứng minh khác nữa:

BĐT cần chứng minh tương đương với:

$abc\left ( a^{2}+ b^{2}+ c^{2} \right )\leq \frac{\left ( a+ b+ c \right )^{5}}{81}$

Điều này đúng vì:

$3abc\left ( a+ b+ c \right )\left ( a^{2}+ b^{2}+ c^{2} \right ) = 3\left [ \left ( ab \right )\left ( ac \right )+ \left ( bc \right )\left ( ca \right )+ \left ( ca \right )\left ( cb \right ) \right ]\left ( a^{2}+ b^{2}+ c^{2} \right ) \leq \left ( ab+ bc+ ca \right )^{2}\left ( a^{2}+ b^{2}+ c^{2} \right ) \leq \left ( \frac{ab+ bc+ ca+ ab+ bc+ ca+ a^{2}+ b^{2}+ c^{2}}{3} \right )^{3}= \frac{1}{27}\left ( a+ b+ c \right )^{6}$


20:46, 22/12/2019

 
 
In how many ways can a laser beam enter at vertex, bounce off n surfaces, then exit through the same vertex?

 


#12 tthnew

tthnew

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 279 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 07-05-2020 - 19:05



Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

\[f=(a+b+c)^5 - 81(a^2+b^2+c^2) \geqslant 0.\]

Ta có

\[f = \frac12 \sum (a^3+b^3+21c^3+2a^2b+2ab^2)(a-b)^2+5\sum c(a-b)^4 \geqslant 0.\]

\[f\equiv A+B\geqq 0\]

\[A=\sum {\frac {9\,c \left( a-b \right) ^{2}[2\, \left( -3\,c+a+b \right) ^{2} + \left( a+b \right) ^{2}]}{8}}\]

\[B=\sum{\frac { \left( a+b-2\,c \right) ^{2}[32\,{c}^{3}+101\, \left( a+b \right) ^{3}+3\, \left( a+b \right)  \left( -8\,c+3\,a+3\,b \right) ^ {2}]}{384}}\]



#13 tthnew

tthnew

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 279 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 29-05-2020 - 08:59

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

\[f=(a+b+c)^5 - 81(a^2+b^2+c^2) \geqslant 0.\]

Ta có

\[f = \frac12 \sum (a^3+b^3+21c^3+2a^2b+2ab^2)(a-b)^2+5\sum c(a-b)^4 \geqslant 0.\]

 

Anh làm kĩ thuật gì mà có thể phân tích ra như vậy.

Anh Huyện chỉ đơn giản là dùng đồng nhất hệ số thôi bạn ;) Ngoài ra$:$

\[f= \sum (a^3+5bc^2)(a-b)^2 + \frac {1}{2} \sum (14a^2b + 10ab^2 - 35abc + 26c^3)(a-b)^2 \geqq 0\]

PS$:$ Thao tác trên Maple của mình$:$ 

LrJVhuH.png


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tthnew: 29-05-2020 - 09:03





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh