Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[5]{\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 10 trả lời

#1
Duy Thai2002

Duy Thai2002

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 433 Bài viết

Cho a,b,c>0 thỏa abc=1.CMR: $\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[5]{\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}}$


Sự khác biệt giữa thiên tài và kẻ ngu dốt là ở chỗ thiên tài luôn có giới hạn.


#2
minhducndc

minhducndc

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 158 Bài viết

ta có bất đẳng thức cần cm tương đương với

(a+b+c)5/243>=(a2+b2+c2)/3

có (ab+bc+ca)2>=3(a+b+c)abc nên ab+bc+ca>=√(3(a+b+c))  (vì abc=1)

có a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)<=(a+b+c)2-2√(3(a+b+c))

ta cần chứng minh (a+b+c)5>=81(a+b+c)2-2.81√3(a+b+c)

đặt √3(a+b+c)=m ta cần chứng minh

x10/39+2x>=x4/9

áp dụng AM-GM cho 3 số ta có

x10/39+x+x>=x4/9

domình ko viết đc  Latex


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhducndc: 21-08-2017 - 19:53

Đặng Minh Đức CTBer


#3
Duy Thai2002

Duy Thai2002

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 433 Bài viết

Bạn có thể đánh Latex được không.Mình nhìn mà không hiểu.


Sự khác biệt giữa thiên tài và kẻ ngu dốt là ở chỗ thiên tài luôn có giới hạn.


#4
minhducndc

minhducndc

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 158 Bài viết

hình như latex bị lỗi m đánh ko đc


Đặng Minh Đức CTBer


#5
minhducndc

minhducndc

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 158 Bài viết

*

Hình gửi kèm

  • 21037956_597971590373264_1782372595_o.jpg

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhducndc: 21-08-2017 - 20:29

Đặng Minh Đức CTBer


#6
slenderman123

slenderman123

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 175 Bài viết

BĐT cần CM tương đương:$ \frac{(a+b+c)^{5}}{243}\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{3}$ với $abc=1$

$abc=1\Rightarrow 3abc(a+b+c)\leq (ab+bc+ca)^{2}\Rightarrow ab+bc+ca\geq \sqrt{3(a+b+c)}$

$a^{2}+b^{2}+c^{2}=(a+b+c)^{2}-2(ab+bc+ca)\leq (a+b+c)^{2}-2\sqrt{3(a+b+c)}$

Giờ cần chứng minh bất đẳng thức sau: $\frac{(a+b+c)^{5}}{81}\geq (a+b+c)^{2}-2\sqrt{3(a+b+c)}$ với $a+b+c \geq 3$

Đặt $t=a+b+c \geq 3$ thì ta có: $t^{5}-81t^{2}+162\sqrt{3t}\geq 0$

Áp dụng BĐT $Cauchy$ $t^{5}+81\sqrt{3t}+81\sqrt{3t}\geq 81t^{2}$(đpcm)

P/S:Mấy bác nhanh quá, đang coi Em của anh, đừng của ai thì có bạn giành rồi  :)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi slenderman123: 21-08-2017 - 20:55

Nguyễn Văn Tự Cường - Trường THPT Chuyên LQĐ - Quảng Trị


#7
Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết

Cho a,b,c>0 thỏa abc=1.CMR: $\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[5]{\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}}$

 

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

\[f=(a+b+c)^5 - 81(a^2+b^2+c^2) \geqslant 0.\]

Ta có

\[f = \frac12 \sum (a^3+b^3+21c^3+2a^2b+2ab^2)(a-b)^2+5\sum c(a-b)^4 \geqslant 0.\]


Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#8
Duy Thai2002

Duy Thai2002

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 433 Bài viết

Anh làm kĩ thuật gì mà có thể phân tích ra như vậy.


Sự khác biệt giữa thiên tài và kẻ ngu dốt là ở chỗ thiên tài luôn có giới hạn.


#9
hanguyen445

hanguyen445

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 240 Bài viết

Cho a,b,c>0 thỏa abc=1.CMR: $\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[5]{\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}}$

CCH

Hình gửi kèm

  • BDT 28.JPG

Đề thi chọn đội tuyển  HSG:

http://diendantoanho...date-2016-2017/

Topic thảo luận bài toán thầy Hùng:

http://diendantoanho...topicfilter=all

Blog Thầy Trần Quang Hùng

http://analgeomatica.blogspot.com/

Hình học: Nguyễn Văn Linh

https://nguyenvanlin...ss.com/2016/09/

Toán học tuổi trẻ:

http://www.luyenthit...chi-thtt-online

Mathlink:http://artofproblemsolving.com

BẤT ĐẲNG THỨC:

http://diendantoanho...-đẳng-thức-vmf/

http://diendantoanho...i-toán-quốc-tế/

 


#10
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết

Cho a,b,c>0 thỏa abc=1.CMR: $\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[5]{\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}}$

Thật ra bài này còn cách khác nữa:

$\frac{a+ b+ c}{3}\geq \sqrt[5]{\frac{a^{2}+ b^{2}+ c^{2}}{3}}$

Bây giờ việc chúng ta cần làm là xử lí nhân tử abc theo a+ b+ c

Sử dụng một bất đẳng thức khác:

$\left ( ab+ bc+ ca \right )^{2}\geq 3abc\left ( a+ b+ c \right ),$

CM tương đương:

$a^{2}\left ( b- c \right )^{2}+ b^{2}\left ( c- a \right )^{2}+ c^{2}\left ( a- b \right )^{2}\geq 0$

Ta cần chứng minh bđt lớn hơn:

$\left ( a+ b+ c \right )^{6}\geq 27\left ( ab+ bc+ ca \right )^{2}\left ( a^{2} + b^{2}+ c^{2}\right )$

Đặt S= a+ b+ c, Q= ab+ bc+ ca, ta được:

$\left ( a+ b+ c \right )^{6}- 27\left ( ab+ bc+ ca \right )^{2}\left ( a^{2}+ b^{2}+ c^{2} \right ) = S^{6}- 27Q^{2}\left ( S^{2} -2Q\right ) = \left ( S^{2} - 3Q^{2}\right )^{2}\left ( S^{2}+ 6Q \right )\geq 0$

Bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= b= c= 1


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 02-01-2018 - 11:54


#11
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết

Cho a,b,c>0 thỏa abc=1.CMR: $\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[5]{\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}}$

 

Còn cách chứng minh khác nữa:

BĐT cần chứng minh tương đương với:

$abc\left ( a^{2}+ b^{2}+ c^{2} \right )\leq \frac{\left ( a+ b+ c \right )^{5}}{81}$

Điều này đúng vì:

$3abc\left ( a+ b+ c \right )\left ( a^{2}+ b^{2}+ c^{2} \right ) = 3\left [ \left ( ab \right )\left ( ac \right )+ \left ( bc \right )\left ( ca \right )+ \left ( ca \right )\left ( cb \right ) \right ]\left ( a^{2}+ b^{2}+ c^{2} \right ) \leq \left ( ab+ bc+ ca \right )^{2}\left ( a^{2}+ b^{2}+ c^{2} \right ) \leq \left ( \frac{ab+ bc+ ca+ ab+ bc+ ca+ a^{2}+ b^{2}+ c^{2}}{3} \right )^{3}= \frac{1}{27}\left ( a+ b+ c \right )^{6}$






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh