Chủ đề này có 2 trả lời

[Minhnksc]

Cho tập hợp $P$ các số nguyên dương thỏa mãn hai điều kiện sau:

    i) $\forall a;b \in P$ thì $a+b \in P$

    ii)$\forall q \in P , q>1, \exists c\in P$ sao cho $c$ không chia hết cho  $q$

Chứng minh tập $\mathbb{N^*} \setminus P $ là tập hữu hạn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnksc: 26-08-2017 - 21:58

[redfox]

Theo mình nghĩ ii) là $\forall q\in N,q>1,\exists c\in P,c\not\equiv 0(mod\; q)$ (nếu ii) như trên thử xét $P= \left \{ 4,6,8,...,2k,... \right \}$, và lấy $c= 4q+2$)

Để ý nếu $a,b\in P\Rightarrow ax+by\in P,\forall x,y\in N$ (theo i)). Áp dụng Sylvester ta có nếu $a,b\in P,gcd(a,b)=d\Rightarrow xd\in P,\forall x\in N,x\geq \frac{(a-d)(b-d)}{d^2}$. (*)

Gọi $d=min(gcd(a,b)|a,b\in P)$ theo (*) tồn tại $X$ sao cho $dx\in P,\forall x\in N,x\geq X$.

Giả sử $d>1$. Theo ii) lấy $p=d$ ta có tồn tại $c\in P$ không chia hết cho $d$. Đặt $d'=gcd(c,d)< d$. Lấy $x=cy+1\geq X$ ta có $xd,c\in P,gcd(xd,c)=gcd(cyd+d,c)=d'<d$ (trái với cách chọn $d$. Vậy $d=1$, theo (*) ta dễ có $N/P$ hữu hạn.

(Q.E.D)

[Minhnksc]

Theo mình nghĩ ii) là $\forall q\in N,q>1,\exists c\in P,c\not\equiv 0(mod\; q)$ 

 

Đúng rồi; mình viết thiếu đề bài