Theo mình nghĩ ii) là $\forall q\in N,q>1,\exists c\in P,c\not\equiv 0(mod\; q)$ (nếu ii) như trên thử xét $P= \left \{ 4,6,8,...,2k,... \right \}$, và lấy $c= 4q+2$)
Để ý nếu $a,b\in P\Rightarrow ax+by\in P,\forall x,y\in N$ (theo i)). Áp dụng Sylvester ta có nếu $a,b\in P,gcd(a,b)=d\Rightarrow xd\in P,\forall x\in N,x\geq \frac{(a-d)(b-d)}{d^2}$. (*)
Gọi $d=min(gcd(a,b)|a,b\in P)$ theo (*) tồn tại $X$ sao cho $dx\in P,\forall x\in N,x\geq X$.
Giả sử $d>1$. Theo ii) lấy $p=d$ ta có tồn tại $c\in P$ không chia hết cho $d$. Đặt $d'=gcd(c,d)< d$. Lấy $x=cy+1\geq X$ ta có $xd,c\in P,gcd(xd,c)=gcd(cyd+d,c)=d'<d$ (trái với cách chọn $d$. Vậy $d=1$, theo (*) ta dễ có $N/P$ hữu hạn.
(Q.E.D)