Chủ đề này có 2 trả lời

[cristianoronaldo]

$\boxed{\text{Bài toán}}$(cristianoronaldo)

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn $xy+yz+zx=3$.

Tìm GTNN của biểu thức:

$P=\left ( 2-xyz \right )\left ( \frac{1}{x\sqrt{y^2+z^2}}+\frac{1}{y\sqrt{z^2+x^2}}+\frac{1}{z\sqrt{x^2+y^2}} \right )$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cristianoronaldo: 22-08-2017 - 20:26

[viet9a14124869]

$\boxed{\text{Bài toán}}$(cristianoronaldo)

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn $xy+yz+zx=3$.

Tìm GTNN của biểu thức:

$P=\left ( 2-xyz \right )\left ( \frac{1}{x\sqrt{y^2+z^2}}+\frac{1}{y\sqrt{z^2+x^2}}+\frac{1}{z\sqrt{x^2+y^2}} \right )$

Ta thấy $3=xy+yz+zx\geq 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\Rightarrow 1\geq xyz$ và $x+y+z\geq \sqrt{3(xy+yz+zx)}=3$

Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :

 $\sum x\sqrt{y^2+x^2}\leq \sqrt{3(2x^2y^2+2y^2z^2+2z^2x^2)}=\sqrt{6(9-2xyz(x+y+z))}\leq \sqrt{6(9-2xyz.3)}=3\sqrt{6-4xyz}$

Dùng bất đẳng thức Schwarz , suy ra 

$P=(2-xyz)(\sum \frac{1}{x\sqrt{y^2+z^2}})\geq (2-xyz).\frac{9}{\sum x\sqrt{y^2+z^2}}\geq \frac{9(2-xyz)}{3\sqrt{6-4xyz}}$

Ta sẽ chứng minh $P\geq \frac{3}{2}\Leftrightarrow \frac{9(2-xyz)}{3\sqrt{6-4xyz}}\geq \frac{3}{2}\Leftrightarrow (1-xyz)(2-xyz)\geq 0$ ( đúng ) 

Vậy ta có $min_{P}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow x=y=z=1$ . 

[hanguyen445]

$\boxed{\text{Bài toán}}$(cristianoronaldo)

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn $xy+yz+zx=3$.

Tìm GTNN của biểu thức:

$P=\left ( 2-xyz \right )\left ( \frac{1}{x\sqrt{y^2+z^2}}+\frac{1}{y\sqrt{z^2+x^2}}+\frac{1}{z\sqrt{x^2+y^2}} \right )$

CM

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hanguyen445: 24-08-2017 - 00:10