Chủ đề này có 2 trả lời

[misakichan]

Cho a,b,c>0 và abc=1

CMR: $(\frac{a}{b}+1)(\frac{b}{c}+1)(\frac{c}{a}+1)+4\geq 4(a+b+c)$

[hanguyen445]

CM

Hình gửi kèm

• 

[slenderman123]

$(\frac{a}{b}+1)=\frac{(a+b)}{b}\Rightarrow  (\frac{a}{c}+1)(\frac{b}{a}+1)(\frac{c}{b}+1)=(a+b)(b+c)(c+a)$

Suy ra BĐT cần chứng minh tương đương: $(a+b)(b+c)(c+a)+4\geq 4(a+b+c)$

Ta có: $(a+b)(b+c)(c+a)\geq \frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca) \Leftrightarrow a(b-c)^{2}+b(c-a)^{2}+c(a-b)^{2} \geq 0$

Suy ra BĐT cần CM tương đương: $\frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)+4-4(a+b+c)\geq 0\Leftrightarrow \frac{8}{9}(ab+bc+ca)+\frac{4}{a+b+c}-4\geq 0$

Ta có: $3abc(a+b+c)\leq (ab+bc+ca)^{2} $ suy ra $a+b+c \leq (ab+bc+ca)^{2}$

Suy ra bất đẳng cần chứng minh trở thành: $\frac{8}{9}(ab+bc+ca)+\frac{12}{(ab+bc+ca)^{2}}-4\geq 0$

Đặt $ab+bc+ca=t$ thì chỉ cần chứng minh: $\frac{8}{9}t+\frac{12}{t^{2}}-4\geq 0$

Theo $Cauchy$: $\frac{4}{9}t+\frac{4}{9}t+\frac{12}{t^{2}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{4}{9}t.\frac{4}{9}t.\frac{12}{t^{2}}}=4$(đpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi slenderman123: 24-08-2017 - 08:00