Chủ đề này có 1 trả lời

[MINIMAX]

cho pt $(x+a)^4+(x+b)^4=c$ 

c/m pt có nghiệm <=> $c\geq 2(\frac{a-b}{2})^4$

[khgisongsong]

đặt $f(x)=(x+a)^4+(x+b)^4$

pt $f(x)=c$ có nghiệm $<=> max(f(x)) \geq c$ và $min(f(x))\leq c$

dễ thấy $ max(f(x) )=+\infty > c$

áp dụng bất đẳng thức phụ $x^2+y^2\geq \frac{(x+y)^2}{2}$

$f(x)\geq \frac{ ( (x+a)^2+(x+b)^2 )^2}{2}$ và $(x+a)^2+(x+b)^2=(x+a)^2+(-x-b)^2 \geq \frac{(x+a-x-b)^2}{2} =  \frac{(a-b)^2}{2} $

$<=> min(f(x)) = \frac{ ( \frac{(a-b)^2}{2} )^2}{2} =2.(\frac{a-b}{2})^4 <=> c\geq 2.(\frac{a-b}{2})^4 $