Chủ đề này có 2 trả lời

[lelehieu2002]

Cho ba số thực không âm a, b, c thỏa mãn $a+b> 0;b+c> 0;a+c> 0$. Chứng minh rằng: $\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a-b}}+\frac{9\sqrt{ab+bc+ac}}{a+b+c}\geq 6$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lelehieu2002: 24-08-2017 - 16:57

[HoangKhanh2002]

Cho ba số thực không âm a, b, c thỏa mãn $a+b> 0;b+c> 0;a+c> 0$. Chứng minh rằng: $\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a-b}}+\frac{9\sqrt{ab+bc+ac}}{a+b+c}\geq 6$

Mình làm theo $Holder$ nhé:

Đặt: $P=\sum \sqrt{\dfrac{a}{b+c}}$. Áp dụng BĐT $Holder$ ta có:

$\left [ a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b) \right ]P^2\geqslant (a+b+c)^3$

Do đó: $P\geqslant \sqrt{\dfrac{(a+b+c)^3}{a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)}}=\sqrt{\dfrac{(a+b+c)^3}{(a+b+c)(ab+bc+ca)-3abc}}\\\geqslant \dfrac{a+b+c}{\sqrt{ab+bc+ca}}$

Thế vào và $AM-GM$ là được

[hoangkimca2k2]

Mình làm theo $Holder$ nhé:

Đặt: $P=\sum \sqrt{\dfrac{a}{b+c}}$. Áp dụng BĐT $Holder$ ta có:

$\left [ a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b) \right ]P^2\geqslant (a+b+c)^3$

Do đó: $P\geqslant \sqrt{\dfrac{(a+b+c)^3}{a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)}}=\sqrt{\dfrac{(a+b+c)^3}{(a+b+c)(ab+bc+ca)-3abc}}\\\geqslant \dfrac{a+b+c}{\sqrt{ab+bc+ca}}$

Thế vào và $AM-GM$ là được

bạn ơi cho mình hỏi dạng tổng quát của bđt Holder