Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$\sum_{n=2}^m a_2a_3...a_n<1$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Quốc Học
  • Sở thích:Number theory,Combinatoric

Đã gửi 24-08-2017 - 19:32

Dãy số $(a_n)$ được xác định như sau : 
$$a_n=\frac{1}{p_1}+\frac{1}{p_2}+..+\frac{1}{p_k}$$ 
Trong đó $p_1,p_2,..,p_k$ là các ước số nguyên tố khác nhau của số $n$. Chứng minh rằng : 
$$\sum_{n=2}^m a_2a_3...a_n<1,\forall m \in \mathbb{N},m \ge 2$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Love MC: 24-08-2017 - 19:33


#2 redfox

redfox

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 100 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK - ĐHQG TPHCM
  • Sở thích:wild animal, furry

Đã gửi 03-09-2017 - 09:06

Định nghĩa: $\sum_{p\in \mathbb{P}},\prod_{p\in \mathbb{P}}$ là tổng, tích lấy trên tất cả các số nguyên tố.

Một số đánh giá: $\sum_{p\in \mathbb{P}}\frac{1}{p^2}<\sum_{k=4}^{\infty }\frac{1}{k^2}<\sum_{k=3}^{\infty }\frac{1}{k\left ( k+1 \right )}=\frac{1}{3}$

$\frac{n}{n-1}\leq \frac{3}{2},\forall n\geq 3$

Áp dụng AM-GM: $\prod_{k=2}^{n}a_k\leq \left ( \frac{\sum_{k=2}^{n}a_k}{n-1} \right )^{n-1}=\left ( \frac{\sum_{p\in P}\frac{\left \lfloor \frac{n}{p} \right \rfloor}{p}}{n-1} \right )^{n-1}\leq \left (\frac{n}{n-1} \sum_{p\in P}\frac{1}{p^2} \right )^{n-1}<\left ( \frac{1}{2} \right )^{n-1},\forall n\geq 3$

(chú ý rằng $\left \lfloor \frac{n}{p} \right \rfloor$ là số các số nguyên từ $2$ đến $n$ chia hết cho $p$, cũng là số lần xuất hiện của số hạng $\frac{1}{p}$

Vậy: $\sum_{n=2}^{\infty }\prod_{k=2}^{n}a_k<\frac{1}{2}+\sum_{n=3}^{\infty }\left ( \frac{1}{2} \right )^{n-1}=1$

(Q.E,D)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi redfox: 03-09-2017 - 11:01





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh