Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum_{n=2}^m a_2a_3...a_n<1$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết

Dãy số $(a_n)$ được xác định như sau : 
$$a_n=\frac{1}{p_1}+\frac{1}{p_2}+..+\frac{1}{p_k}$$ 
Trong đó $p_1,p_2,..,p_k$ là các ước số nguyên tố khác nhau của số $n$. Chứng minh rằng : 
$$\sum_{n=2}^m a_2a_3...a_n<1,\forall m \in \mathbb{N},m \ge 2$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Love MC: 24-08-2017 - 19:33


#2
redfox

redfox

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 100 Bài viết

Định nghĩa: $\sum_{p\in \mathbb{P}},\prod_{p\in \mathbb{P}}$ là tổng, tích lấy trên tất cả các số nguyên tố.

Một số đánh giá: $\sum_{p\in \mathbb{P}}\frac{1}{p^2}<\sum_{k=4}^{\infty }\frac{1}{k^2}<\sum_{k=3}^{\infty }\frac{1}{k\left ( k+1 \right )}=\frac{1}{3}$

$\frac{n}{n-1}\leq \frac{3}{2},\forall n\geq 3$

Áp dụng AM-GM: $\prod_{k=2}^{n}a_k\leq \left ( \frac{\sum_{k=2}^{n}a_k}{n-1} \right )^{n-1}=\left ( \frac{\sum_{p\in P}\frac{\left \lfloor \frac{n}{p} \right \rfloor}{p}}{n-1} \right )^{n-1}\leq \left (\frac{n}{n-1} \sum_{p\in P}\frac{1}{p^2} \right )^{n-1}<\left ( \frac{1}{2} \right )^{n-1},\forall n\geq 3$

(chú ý rằng $\left \lfloor \frac{n}{p} \right \rfloor$ là số các số nguyên từ $2$ đến $n$ chia hết cho $p$, cũng là số lần xuất hiện của số hạng $\frac{1}{p}$

Vậy: $\sum_{n=2}^{\infty }\prod_{k=2}^{n}a_k<\frac{1}{2}+\sum_{n=3}^{\infty }\left ( \frac{1}{2} \right )^{n-1}=1$

(Q.E,D)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi redfox: 03-09-2017 - 11:01





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh