Chủ đề này có 2 trả lời

[WhjteShadow]

Giả sử $f$ là hàm chỉnh hình trên $\mathbb{C}$ sao cho với mỗi $z_0\in \mathbb{C}$, có ít nhất một trong các hệ số của khai triển Taylor với tâm tại $z_0$

$$f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (z-z_0)^n$$

bị triệt tiêu. Chứng minh $f$ là một đa thức. 

 

---

 

Bài này mình chỉ nghĩ được cách dùng định lí Baire về phạm trù, không biết có bạn nào có cách khác không?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 25-08-2017 - 10:35

[vutuanhien]

Giả sử $f$ là hàm chỉnh hình trên $\mathbb{C}$ sao cho với mỗi $z_0\in \mathbb{C}$, có ít nhất một trong các hệ số của khai triển Taylor với tâm tại $z_0$

$$f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (z-z_0)^n$$

bị triệt tiêu. Chứng minh $f$ là một đa thức. 

 

---

 

Bài này mình chỉ nghĩ được cách dùng định lí Baire về phạm trù, không biết có bạn nào có cách khác không?

Ta nhắc lại một bổ đề (không) quen thuộc: Giả sử $\Omega$ là một tập mở liên thông của $\mathbb{C}$, $F:\Omega\to \mathbb{C}$ là hàm giải tích trên $\mathbb{C}$, thì hoặc $F$ đồng nhất bằng $0$, hoặc là tập $0$ - điểm của $F$ là tập rời rạc (không có điểm giới hạn). 

 

Việc cần chứng minh $f$ là đa thức tương đương với việc chỉ ra rằng tồn tại $n$ mà $f^{(n)}(z_{0})$ triệt tiêu với mọi $z_{0}\in \mathbb{C}$. Phản chứng, giả sử không tồn tại $n$ như thế. Khi đó với mọi $n$, $f^{(n)}(z)$ cũng là hàm giải tích trên $\mathbb{C}$, không đồng nhất bằng $0$, nên theo bổ đề thì tập $0$ - điểm của $f^{(n)}(z)$ là tập rời rạc, và do đó là đếm được. Vì hợp đếm được của các tập đếm được cũng là đếm được, nên tập $\left\{z_{0}\in \mathbb{C}: \exists n\in \mathbb{N}, f^{(n)}(z_{0})=0\right\}$ là đếm được. Nhưng từ đề bài, ta suy ra rằng tập bên trên chính là $\mathbb{C}$. Điều này hoàn toàn vô lý, vì $\mathbb{C}$ không đếm được. Vậy $f$ phải là một đa thức.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 26-08-2017 - 20:21

[vutuanhien]

Giả sử $f$ là hàm chỉnh hình trên $\mathbb{C}$ sao cho với mỗi $z_0\in \mathbb{C}$, có ít nhất một trong các hệ số của khai triển Taylor với tâm tại $z_0$

$$f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (z-z_0)^n$$

bị triệt tiêu. Chứng minh $f$ là một đa thức. 

 

---

 

Bài này mình chỉ nghĩ được cách dùng định lí Baire về phạm trù, không biết có bạn nào có cách khác không?

Bổ sung thêm theo yêu cầu của tác giả   . Ta chứng minh rằng mọi tập rời rạc $D$ trong $\mathbb{C}$ là đếm được. Tổng quát hơn, mọi tập rời rạc trong không gian khả ly là đếm được. Thật vậy, ta đã biết rằng mọi tập con của một không gian khả ly thì cũng khả ly, nên $D$ cũng khả ly. Vì vậy tồn tại một tập con đếm được $M$ sao cho $M$ trù mật trong $D$. Nếu tồn tại $x\in D\setminus M$ thì do $D$ rời rạc nên tồn tại $\epsilon>0$ mà $B(x,\epsilon)\cap D=\left\{x\right\}$, tức là $B(x,\epsilon)\cap M=\varnothing$. Điều này vô lý do $M$ trù mật trong $D$. Vậy $M=D$, tức là $D$ là tập đếm được.