Chủ đề này có 1 trả lời

[traitimcamk7a]

Cho tam giác $ABC$ nhọn, $BA<BC$ nội tiếp đường tròn tâm $O$. Đường tròn tâm $K$ đi qua các điểm $O,A,C$ cắt $BA$ và $BC$ tại $M$ và $N$ tương ứng. Gọi $P$ là điểm đối xứng với $K$  qua $MN$; $E,F$ là hình chiếu vuông góc của $P$ trên $BA$ và $BC$ tương ứng. Chứng minh rằng:

a) $P$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $BMN$.

b) $EF$ song song $MN$.

[Hai2003]

Bổ đề: Cho tam giác $XYZ$ nội tiếp $(O)$ thì $\widehat{OYZ}+\widehat{XYZ}=90^{\circ}$

Chứng minh khá đơn giản, chỉ cần cộng góc. Bổ đề này đúng với cả tam giác tù.

 

 

Dễ thấy $MP=PN=MK$, $\widehat{BNM}=\widehat{BAC}$.

Áp dụng bổ đề thì $\widehat{OCB}=90^{\circ}-\widehat{BAC}, \widehat{KCO}=90^{\circ}-\widehat{OAC}=\widehat{B}$

$\Rightarrow \widehat{KNC}=\widehat{KCN}=\widehat{B}+90^{\circ}-\widehat{BAC}$

Mà $\widehat{MNC}=180^{\circ}-\widehat{BAC} \Rightarrow \widehat{MNP}=\widehat{MNK}=90^{\circ}-\widehat{B}$

 

Đến đây thì do tam giác $BMN$ nhọn nên tâm đường tròn ngoại tiếp $P'$ nằm trong tam giác. Lúc ấy $P'$ thuộc đường trung trực của $MN$ và $\widehat{MNP'}=90^{\circ}-\widehat{B}$ nên $P$ trùng $P'$. Vậy $P$ là tâm $(BMN)$.

Câu b thì đơn giản rồi.

 

Spoiler

Sau khi chứng minh $\widehat{MNP}=90^{\circ}-\widehat{B}$ có thể gọi giao điểm $D$ của $PK$ và $MN$ thì chứng minh được $FD\parallel BM$ cũng suy ra đpcm. Tuy nhiên nếu tam giác $ABC$ tù thì chỉ có thể chứng minh bằng song song thôi.