Bổ đề: Cho tam giác $XYZ$ nội tiếp $(O)$ thì $\widehat{OYZ}+\widehat{XYZ}=90^{\circ}$
Chứng minh khá đơn giản, chỉ cần cộng góc. Bổ đề này đúng với cả tam giác tù.
Dễ thấy $MP=PN=MK$, $\widehat{BNM}=\widehat{BAC}$.
Áp dụng bổ đề thì $\widehat{OCB}=90^{\circ}-\widehat{BAC}, \widehat{KCO}=90^{\circ}-\widehat{OAC}=\widehat{B}$
$\Rightarrow \widehat{KNC}=\widehat{KCN}=\widehat{B}+90^{\circ}-\widehat{BAC}$
Mà $\widehat{MNC}=180^{\circ}-\widehat{BAC} \Rightarrow \widehat{MNP}=\widehat{MNK}=90^{\circ}-\widehat{B}$
Đến đây thì do tam giác $BMN$ nhọn nên tâm đường tròn ngoại tiếp $P'$ nằm trong tam giác. Lúc ấy $P'$ thuộc đường trung trực của $MN$ và $\widehat{MNP'}=90^{\circ}-\widehat{B}$ nên $P$ trùng $P'$. Vậy $P$ là tâm $(BMN)$.
Câu b thì đơn giản rồi.