Giả sử $\Omega$ là một tập mở bị chặn trong $\mathbb{C}$ và $\varphi:\Omega\to \Omega$ là một hàm chỉnh hình. Chứng minh rằng nếu tồn tại $z_{0}\in \Omega$ sao cho $\varphi(z_{0})=z_{0}$ và $\varphi'(z_{0})=1$ thì $\varphi$ là hàm tuyến tính.
#1
Đã gửi 27-08-2017 - 16:01
"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck
#2
Đã gửi 28-08-2017 - 15:13
Giả sử $\Omega$ là một tập mở bị chặn trong $\mathbb{C}$ và $\varphi:\Omega\to \Omega$ là một hàm chỉnh hình. Chứng minh rằng nếu tồn tại $z_{0}\in \Omega$ sao cho $\varphi(z_{0})=z_{0}$ và $\varphi'(z_{0})=1$ thì $\varphi$ là hàm tuyến tính.
Xét $\psi(z) = \varphi(z +z_0) - z_0$ và tập $U = \Omega - z_0 = \{ z - z_0 | z\in \Omega\}$. Khi đó $U$ mở và bị chặn; $\psi$ chỉnh hình, biến $U$ vào $U$ và
$$\psi(0) = 0, \psi'(0) = 1.$$
Vậy chuỗi Taylor tại 0 của $\psi$ có dạng
$$\psi(z) = z + a_n z^n + \sum_{k=n+1}^{\infty} a_{k}z^k = z + a_nz^n + o(z^n)$$
với $a_n$ là hệ số đầu tiên sau hệ số thứ nhất khác 0 (nếu có). Tính toán trực tiếp ta có
$$\psi^{m}(z) = z + ma_nz^n + o(z^n)\,\,\,\, \forall \, m \in \mathbb{N}.$$
Do $U$ mở nên tồn tại hình tròn tâm 0 bán kính $r$ nằm trong $U$. Suy ra
$$ma_n = \dfrac{1}{2\pi i} \int_{\partial B(0,r) } \dfrac{\psi^m(z)}{z^{n+1}} dz \,\,\,\, \forall \, m \in \mathbb{N}.$$
Do với mọi $m\in \mathbb{N}$, $\psi^m \colon U \to U$ là tập bị chặn nên $\left| \dfrac{\psi^m(z)}{z^{n+1}} \right|$ bị chặn với mọi $z \in \partial B(0,r)$. Suy ra vế phải bị chặn với mọi $m\in \mathbb{N}$. Vậy vế trái là $ma_n$ cũng bị chặn, suy ra $a_n=0$.
Tóm lại $\psi (z) = z$. Thay lại ban đầu ta có $\varphi(z) = z$ là một hàm tuyến tính. $\square$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 28-08-2017 - 15:15
- vutuanhien yêu thích
#3
Đã gửi 28-08-2017 - 15:53
Xét $\psi(z) = \varphi(z +z_0) - z_0$ và tập $U = \Omega - z_0 = \{ z - z_0 | z\in \Omega\}$. Khi đó $U$ mở và bị chặn; $\psi$ chỉnh hình, biến $U$ vào $U$ và
$$\psi(0) = 0, \psi'(0) = 1.$$
Vậy chuỗi Taylor tại 0 của $\psi$ có dạng
$$\psi(z) = z + a_n z^n + \sum_{k=n+1}^{\infty} a_{k}z^k = z + a_nz^n + o(z^n)$$
với $a_n$ là hệ số đầu tiên sau hệ số thứ nhất khác 0 (nếu có). Tính toán trực tiếp ta có
$$\psi^{m}(z) = z + ma_nz^n + o(z^n)\,\,\,\, \forall \, m \in \mathbb{N}.$$
Do $U$ mở nên tồn tại hình tròn tâm 0 bán kính $r$ nằm trong $U$. Suy ra
$$ma_n = \dfrac{1}{2\pi i} \int_{\partial B(0,r) } \dfrac{\psi^m(z)}{z^{n+1}} dz \,\,\,\, \forall \, m \in \mathbb{N}.$$
Do với mọi $m\in \mathbb{N}$, $\psi^m \colon U \to U$ là tập bị chặn nên $\left| \dfrac{\psi^m(z)}{z^{n+1}} \right|$ bị chặn với mọi $z \in \partial B(0,r)$. Suy ra vế phải bị chặn với mọi $m\in \mathbb{N}$. Vậy vế trái là $ma_n$ cũng bị chặn, suy ra $a_n=0$.
Tóm lại $\psi (z) = z$. Thay lại ban đầu ta có $\varphi(z) = z$ là một hàm tuyến tính. $\square$
Cách làm hoàn toàn chính xác rồi . Ý tưởng của bài này là dùng phép tịnh tiến đưa $z_{0}$ về $0$ rồi khai triển Taylor và dùng bất đẳng thức Cauchy cho tích phân.
"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: giải tích phức
Toán Đại cương →
Giải tích →
Phân hoạch $\mathbb{N}$ thành hữu hạn cấp số cộngBắt đầu bởi vutuanhien, 27-08-2017 giải tích phức |
|
|||
Toán Đại cương →
Giải tích →
Chứng minh $f$ là một đa thứcBắt đầu bởi WhjteShadow, 25-08-2017 giải tích phức, hàm chỉnh hình và . |
|
|||
Nghiên cứu Toán học →
Nghiên cứu Toán học →
Giải tích Toán học →
Hỏi về thác triển giải tích hàm phứcBắt đầu bởi tuananh1611, 14-05-2014 giải tích phức, thác triển |
|
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh