Đến nội dung


Hình ảnh

Tuần 5 tháng 8/2017: $YC=ZB$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 JUV

JUV

    Trung sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 138 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nam Định
  • Sở thích:Manga, Music

Đã gửi 27-08-2017 - 22:13

Như vậy lời giải cho hai bài Tuần 4 tháng 8/2017 đã được đưa tại đây kèm theo đó là hai bài toán mới của thầy Trần Quang Hùng và bạn Đỗ Xuân Long. Xin được trích dẫn lại hai bài toán:

Bài 1:  Cho tam giác $ABC$ có phân giác $AD$.$E,F$ lần lượt thuộc $CA,AB$ sao cho $EF$ song song $BC$. Gọi $M,N$ theo thứ tự là hình chiếu của $C,B$ lên $DE,DF$. $AD$ cắt đường tròn ngoại tiếp các tam giác $AEM$ và $AFN$ tại lần lượt tại $U,V$ khác $A$. Gọi $NV,MU$ lần lượt cắt $CA,AB$ tại $Y,Z$ Chứng minh rằng $YC=ZB$

Hình vẽ:

etXvnkZ.png

Bài 2: Cho lục giác $ABCDE$ nội tiếp có $AB=CD=EF$ và $BC=DE$. $P$ là một điểm di chuyển trên cung nhỏ $AF$ của đường tròn ngoại tiếp lục giác. $PC,PD$ lần lượt cắt $AE,FB$ tại $M,N$. $K,L$ theo thứ tự thuộc các cạnh $AB,EF$ sao cho $MK,NL,AF$ đôi một song song. $PC,PD$ lần lượt cắt $AF$ tại $S,T$. $KS$ cắt $LT$ tại $Q$. Chứng minh rằng đường thẳng $PQ$ chia đôi đoạn $CD$

Hình vẽ

nFt2DRJ.png



#2 cleverboy

cleverboy

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 25 Bài viết

Đã gửi 28-08-2017 - 15:35

Một lời giải cho bài 2.

Hình gửi kèm

  • Bai 2.png


#3 JUV

JUV

    Trung sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 138 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nam Định
  • Sở thích:Manga, Music

Đã gửi 28-08-2017 - 23:01

Bài 1:  Gọi $O_1$,$O_2$ là tâm đường tròn $CMZ$ và $BNY$. Dễ thấy $\angle CO_1Z=\angle BO_2Y=\alpha = \pi -\angle A$ (do $\angle CMZ=\angle BNY= \frac{\pi+\angle A}{2}$) và $CO_1Z$ và $BO_2Y$ cân tại $O_1,O_2$ nên $\exists k\in R$ sao cho $O_1\in f_1(AB), O_2\in f_2(AC)$ với $f_1$ là phép đồng dạng quay với tâm $C$, hệ số đồng dạng $k$, hệ số góc $\beta $ và $f_2$ là phép đồng dạng quay tâm $B$, hệ số đồng dạng $k$, hệ số góc $-\beta$ với $\beta=\frac{\pi -\alpha }{2}$. Dễ thấy $f_1(AB)=f_2(AC)=AD$ và $f_1(B)=f_2(C)=I$ là điểm chính giữa cung $BC$ không chứa $A$ của $(ABC)$ . Gọi $K_1$,$K_2$ là trung điểm $DC$,$DB$. Ta có $O_1M_1$ đi qua trung điểm $CE$ (do $O_1M_1$ là trung trực $MC$), tương tự $O_2M_2$ đi qua trung điểm $BF$ và $O_1,O_2$ đều thuộc $AD$ nên theo định lý $Menelaus$, $O_1\equiv O_2\equiv O$. Vậy $BZ=\frac{OI}{k}=CY$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi JUV: 31-08-2017 - 10:36


#4 ecchi123

ecchi123

    Trung sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 176 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hoàng Văn Thụ - Hòa bình
  • Sở thích:Hình , Dragonball

Đã gửi 30-08-2017 - 18:40

Lời giải bài 1 :

Dễ dàng thấy $ANDY,AMDZ$ nội tiếp . Gọi $(AND)$ cắt $BC,BA$ tại $T,K$ . $(ADM)$ cắt $BC,AC$ tại $S,H$

Hạ đường cao $DP,DQ$ xuống $AB,AC$ ta có $EH.EA=EM.ED=EP.EC=>\frac{EA}{EC}=\frac{EP}{EH}=\frac{EA+EP}{EC+EH}=\frac{AP}{HC}$

Tương tự suy ra $\frac{AQ}{KB}=\frac{AF}{FB}=\frac{AE}{EC}=\frac{AP}{HC}$ nên $CH=BK$

Từ đó $\frac{CS}{CH}=\frac{CA}{CD}=\frac{BA}{BD}=\frac{BT}{BK}$ nên $CS=BT$ nên $BS=CT$

Vậy $\frac{BS}{BZ}=\frac{BA}{BD}=\frac{CA}{CD}=\frac{CT}{CY}$ nên $BZ=CY$

2.png


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ecchi123: 30-08-2017 - 18:55

~O)  ~O)  ~O)





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh