Chủ đề này có 2 trả lời

[Uchiha sisui]

Bài toán. Cho tam giác $ABC$ có tâm đường tròn nội tiếp $I$. Gọi $T$ là giao điểm của $AI$ và $BC$. Gọi $D,E,F$ lần lượt là các điểm tiếp xúc của $BC, CA,AB$ với $I.$ AD cắt (AI) tại G. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABG$ cắt $AI$ tại $Q$. Chứng minh rằng $B,F,Q,T$ đồng viên.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 21-09-2017 - 03:58

[anhquannbk]

Bài toán. Cho tam giác $ABC$ có tâm đường tròn nội tiếp $I$. Gọi $T$ là giao điểm của $AI$ và $BC$. Gọi $D,E,F$ lần lượt là các điểm tiếp xúc của $BC, CA,AB$ với $I.$ AD cắt (AI) tại G. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABG$ cắt $AI$ tại $Q$. Chứng minh rằng B, F, Q, T đồng viên

Dễ thấy $ EF, BC, IG $ đồng quy tại $ S $. Theo tính chất hàng điểm điều hòa ta có $ GD $ là phân giác $ \angle BGC $. Từ đó bài toán quy về chứng minh $ \angle BFT = \angle BGD $. Gọi $ R $ là giao điểm của $ AD $ và $ FT$. $ BR $ cắt $AT$ tại $ L $. Ta chứng minh $ BR \perp AD $ hay $ BR, DE, AT $ đồng quy, điều này dễ có bằng sử dụng định lý Desargues cho 2 tam giác $ BAD $ và $ TXE $.

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 21-09-2017 - 03:59

[dangkhuong]

Mình xin nêu bài toán tổng quát của mình đề nghị trên group fb Bài toán hay-Lời giải đẹp: Cho tam giác $ABC$. Lấy $E,F$ thuộc $AC,AB$ sao cho $AE=AF$. Trung trực $EF$ cắt $BC$ tại $T$. $BE\cap CF=H$ và $AH\cap (AEF)=A,P$. Gọi $(APB)$ cắt trung trực $EF$ tại $Q\neq A$. Chứng minh rằng: $B,F,Q,T$ đồng viên(Nguyễn Duy Khương)

 

 

Lời giải của mình: Gọi $EF\cap BC=S$, $AH\cap BC=D$. Đường thẳng qua $B$ song song $EF$ cắt $AC$ tại $M$ và cắt phân giác góc $\angle BAC$ tại $K$. Hiển nhiên $K$ là trung điểm $BM$ do đó theo hàng điểm điều hoà cơ bản thì: $E(SK,BM)=-1=E(SK,BC)$. Theo hàng điểm điều hoà cơ bản thì: $(SD,BC)=-1$ do đó: $E(SD,BC)=-1$ hay là: $D,K,E$ thẳng hàng. Do đó: $\angle FKB=\angle KED=\angle KFE=\angle DKB$ hay $KB$ là phân giác $\angle FKD$. Gọi $FD\cap AT=I$, ta có: $KI\perp KB$ do đó: $K(BI,DF)=-1$ hay là: $FT,KB,AD$ đồng quy tại $R$. Ta có: $BR\| EF$ do đó: $\angle RBF=\angle AFE=\angle FPA$ hay là: $FPRB$ nội tiếp do đó: $AF.AB=AP.AR$. Xét phép nghịch đảo $I^A_{AF.AB}: F\leftrightarrow B, R\leftrightarrow P, T\leftrightarrow Q'$. Do $F,R,T$ thẳng hàng nên $A,Q',B,P$ đồng viên vậy $Q\equiv Q'$ dẫn tới: $AQ.AT=AF.AB$ hay là: $F,Q,B,T$ đồng viên(điều phải chứng minh).