Chủ đề này có 1 trả lời

[SUPERMAN2000]

Chứng minh rằng từ $1685$ số nguyên phân biệt bất kỳ trong đoạn $[1;2017]$ luôn tồn tại $7$ số mà trong đó có một số là tổng $6$ số kia.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 02-11-2017 - 02:02

[Sonhai224]

Gọi các số nguyên đã cho là $0\leq a_{1}< a_{2}......< a_{1685}.$

Xét các tổng $a_1+a_2+a_6$ , $a_1+a_2+a_7$ , $a_1+a_2+a_{1685}:$ có $1680$ tổng khác nhau.

Xét các hiệu $a_6-a_3-a_4-a_5$ , $a_7-a_3-a_4-a_5$ , $a_{1685}-a_3-a_4-a_5:$ có 1680 hiệu khác nhau

Vậy tổng cộng có 3363 số như trên.

Ta nhận xét thấy tổng $a_1+a_2+a_j$ thì luôn bé hơn hoặc bằng $2684,$ còn hiệu $a_k-a_3-a_4-a_5$ thì luôn lớn hơn hoặc bằng $-670$ nên số các giá trị có thể đạt được của các tổng và hiệu nói trên không quá $3354.$

Theo nguyên lí Dirichlet và chú ý các tổng là phân biệt, các hiệu là phân biệt,

$\exists j,k: a_1+a_2+a_j=a_k-a_3-a_4-a_5.$ Rõ ràng $j \neq k$ nên ta có đpcm.  

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 02-11-2017 - 02:08