Giải hệ phương trình
$\left\{\begin{matrix}\frac{x^{2}}{y}+\frac{y^{2}}{x}=\sqrt{2(x^{2}+y^{2})} & \\ 13\sqrt{x-1}+9\sqrt{\frac{x^{2}+y}{y}}=16y & \end{matrix}\right.$
Giải hệ phương trình
$\left\{\begin{matrix}\frac{x^{2}}{y}+\frac{y^{2}}{x}=\sqrt{2(x^{2}+y^{2})} & \\ 13\sqrt{x-1}+9\sqrt{\frac{x^{2}+y}{y}}=16y & \end{matrix}\right.$
Ta cần chứng minh$\frac{x^{2}}{y}+\frac{y^{2}}{x}\geq \sqrt{2(x^{2}+y^{2})}$ (với x;y dương theo ĐKXĐ của phương trình dưới)
$\Leftrightarrow \frac{x^{4}}{y^{2}}+\frac{y^{4}}{x^{2}}+2xy\geq 2(x^{2}+y^{2})$
$x^{6}+y^{6}+2x^{3}y^{3}\geq 2(x^{2}+y^{2})x^{2}y^{2} \Leftrightarrow (x^{6}-x^{4}y^{2})+(y^{6}-x^{2}y^{4})+(x^{3}y^{3}-x^{2}y^{4})+(x^{3}y^{3}-x^{4}y^{2})\geq 0\Leftrightarrow x^{4}(x^{2}-y^{2})-y^{4}(x^{2}-y^{2})+x^{2}y^{3}(x-y)-x^{3}y^{2}(x-y)\geq 0\Leftrightarrow (x^{2}-y^{2})^{2}(x^{2}+y^{2})-x^{2}y^{2}(x-y)^{2}\geq 0$\Leftrightarrow (x-y)^{2}((x+y)^{2}(x^{2}+y^{2})-x^{2}y^{2})\geq 0$(luôn đúng chỗ này dùng AM-GM)
Dấu bằng xảy ra khi x=y thế vào pt còn lại
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhducndc: 30-08-2017 - 16:31
Đặng Minh Đức CTBer
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh